Espaces et lignes de Green

Brelot, Marcel, and Choquet, Gustave. "Espaces et lignes de Green." Annales de l'institut Fourier 3 (1951): 199-263. <http://eudml.org/doc/73698>.

@article{Brelot1951,
abstract = {Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces $G_p(M)=C^\{\rm te\}$) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à $\tau \ge 2\,\{\rm dim\}$, ils font la théorie dans des espaces $\{\bf E\}$ plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à $\tau \,\{\rm dim\}$. On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine $\Omega $ greenien de $\{\bf E\}$ en utilisant comme topologie $\{\bf T\}$, celle de $\{\bf E\}$ pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans $\Omega $ issues du pôle $P$. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour $G$ la borne inférieure $0$ sans rencontrer de zéro de grad $G$ et ont une limite pour $G\rightarrow 0$. Aux points d’un ensemble $e$ de la frontière de $\Omega $ aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de $e$ en $P$. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans $\Omega $ (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).},
author = {Brelot, Marcel, Choquet, Gustave},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
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pages = {199-263},
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title = {Espaces et lignes de Green},
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TY - JOUR
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AU - Choquet, Gustave
TI - Espaces et lignes de Green
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1951
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 3
SP - 199
EP - 263
AB - Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces $G_p(M)=C^{\rm te}$) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à $\tau \ge 2\,{\rm dim}$, ils font la théorie dans des espaces ${\bf E}$ plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à $\tau \,{\rm dim}$. On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine $\Omega $ greenien de ${\bf E}$ en utilisant comme topologie ${\bf T}$, celle de ${\bf E}$ pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans $\Omega $ issues du pôle $P$. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour $G$ la borne inférieure $0$ sans rencontrer de zéro de grad $G$ et ont une limite pour $G\rightarrow 0$. Aux points d’un ensemble $e$ de la frontière de $\Omega $ aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de $e$ en $P$. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans $\Omega $ (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).
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