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Systèmes totaux de fonctions harmoniques

Jacques Deny (1949)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien R m ( m 2 ) le point courant x à distance | x | de l’origine, un compact E et la fonction harmonique fondamentale h ( x ) valant - log | x | ( m = 2 ) ou | x | 2 - m ( m > 2 ) . Si H n est tout polynôme harmonique homogène de degré n , on pose Φ n a ( x ) = H n ( x - a ) | x - a | 2 n + m - 2 ( n 1 ) , Φ 0 a ( x ) = H 0 h ( x - a ) ( H 0 = C te ) et Φ n ( x ) = H n ( x ) ( n 0 ) . L’auteur caractérise de diverses...

Sur un théorème de Keldych concernant le problème de Dirichlet

Gustave Choquet (1968)

Annales de l'institut Fourier

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D’après Keldych, pour tout domaine borné Ω de R n , il existe une suite D de points-frontière irréguliers de Ω tels que pour toute donnée frontière continue, son prolongement harmonique de Perron-Weiner est continu sur Ω dès qu’il est continu en tout point de D . On donne ici trois démonstrations simples de ce théorème, deux valables dans un cadre fort général, la troisième établissant un lien entre le comportement des fonctions de Green et celui des prolongements harmoniques...

Sur les G δ de capacité nulle

Gustave Choquet (1959)

Annales de l'institut Fourier

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On démontre, pour le noyau newtonien, et d’autres noyaux analogues, que pour tout G δ de capacité extérieure nulle il existe une mesure positive portée par ce G δ , et telle que l’ensemble des infinis de son potentiel soit identique au G δ donné.

Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme L u = - i x i ( j a i j u x j ) = 0

Rose-Marie Hervé (1964)

Annales de l'institut Fourier

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Soient Ω un domaine borné de R n et W 0 1 , 2 ( Ω ) l’adhérence de 𝒟 ( Ω ) dans l’espace W 1 , 2 ( Ω ) des fonctions qui L 2 ( Ω ) ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans Ω , majorée p.p. au voisinage de Ω par une fonction W 0 1 , 2 ( Ω ) est 0 p.p. dans Ω . Puis on vérifie que les solutions locales de L u = 0 forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un...

Singularités éliminables pour des équations semi-linéaires

Pierre Baras, Michel Pierre (1984)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donné L un opérateur différentiel d’ordre m sur un ouvert Ω de R N , K un compact de Ω , γ > 1 et γ ' = γ / ( γ - 1 ) , nous montrons que toute solution de “ L u + u γ = 0 sur Ω K , u 0 ” est solution de “ L u + u γ = 0 sur Ω ” dès que la W m , γ ' -capacité de K est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand L est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que ` ` L u + u | u | γ - 1 = μ , u | Ω = 0 ' ' μ est une mesure de Radon bornée sur Ω , a une solution si et seulement si μ ne charge pas les ensembles de W 2 , γ ' -capacité nulle.

Familles fondamentales. Noyaux associés

Jacques Deny (1951)

Annales de l'institut Fourier

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Par “famille fondamentale” on entend ici un ensemble ( Σ ) de mesures de Radon σ 0 , définies dans un groupe abélien localement compact G , auquel on peut associer une mesure χ 0 , appelée base de ( Σ ) , de façon que soient vérifiés : 1) χ * σ a un sens pour toute σ ( Σ )  ; χ - χ * σ est 0 , non nulle, à support compact ; 2) à tout voisinage V de l’origine de G , on peut associer une σ ( Σ ) telle que le support de χ - χ * σ soit contenu dans V . Par exemple, les répartitions homogènes de la masse...