Soient $W=L^{\text{'}}\left(\mu \right)$ et $V=C\left(X\right)$. Il existe une application (non linéaire) normiquement continue $T\mapsto P\left(T\right)$ de l’espace des opérateurs bornés de $W$ dans $V$ sur l’espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) de $W$ dans $V$ telle que $\parallel T-P\left(T\right)\parallel$ coïncide avec la distance de $T$ au sous-espace formé des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts). Pour un opérateur donné $T$ de $W$ dans $V$ on étudie les propriétés de l’ensemble $\mathbf{K}\left(T\right)$ (resp. $\mathbf{F}\left(T\right)$) des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) tel que pour tout $\mathbf{R}$ de $\mathbf{K}\left(T\right)$ (resp....

Soit $\Omega$ un ouvert non cylindrique de l’espace $R_x^n\times R_t$, contenu dans $t\>0$ ; on donne dans cet ouvert un opérateur différentiel (ou un système d’opérateurs différentiels) de la forme $$A_x+\partial /\partial t,A_x=\Sigma (-1{)}^{\left|p\right|}{D}_x^p(a_{pq}(x,t)D_x^q),|p|,|q|\le m,$$ l’opérateur $A_x$ étant elliptique pour tout $t\>0$. On montre que sous certaines hypothèses sur la frontière de $\Omega$, il existe une fonction $u$ et une seule, solution de $$A_{x}u+\partial u/\partial t=f(x,t)\text{(donné)}$$ avec $$u(x,0)=0$$ et les...

Nous montrons principalement que, si $f\ge 0$ est une fonction différentiable sur un intervalle $[0,T]$, si sa dérivée est höldérienne d’ordre $\alpha$ avec $0\<\alpha \le 1$ et si $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$ (resp. $f^{\text{'}}\left(T\right)=0)$ quand $f\left(0\right)=0$ (resp. $f\left(T\right)=0)$ alors $f^{1/(1+\alpha )}$, qui est absolument continue, admet (presque partout) une dérivée bornée presque partout.

On démontre que les seuls points rationnels sur $\mathbf{Q}$ de la courbe $X_0\left(169\right)$ sont les pointes. En conséquence, il n’existe pas de courbe elliptique définie sur $\mathbf{Q}$ possédant un sous-groupe cyclique rationnel d’ordre ${13}^2$.

Soit $A(x,\partial /\partial x)$ un opérateur elliptique d’ordre $2m$ dans un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^n$, frontière et coefficients étant réguliers. Le problème de Dirichlet consiste en la recherche de $u$ vérifiant $Au=f$, $f$ donnée dans $\Omega$, avec $\frac{{\partial }^{j}u}{\partial n^j}$ (dérivée normale d’ordre $j$) $={\phi }_j$ donnée sur $\Gamma$ (frontière de $\Omega$), $j=0,1,...,m-1$. Pour $f$ et ${\phi }_j$ dans des classes hilbertiennes variées, on détermine le meilleur espace auquel appartient $u$. Résultats analogues pour le problème de Neumann ou les problèmes de dérivées obliques. Les démonstrations...

Les $(k,r,s)$-plans (définis ci-dessous) ont été introduits dans [1]. Leur étude englobe celle des plans affines et projectifs finis, des familles de carrés latins deux à deux orthogonaux, de certains plans équilibrés et partiellement équilibrés ${}^2$. La question de leur existence est très mal connue, celle de leur unicité n’a pratiquement pas été abordée. Nous nous proposons de montrer le théorème suivant : pour qu’il existe un $(k,r,s)$-plan il est nécessaire que : $\frac{k(k-1)(r-1)}{s},\frac{r(k-1)(r-1)}{s},\frac{kr(k-1)(r-1)}{s(k+r-s-1)}$ soient entiers.