Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul...

Soit $f$ un revêtement ramifié de ${𝐏}_1$ défini sur $\overline{𝐐}$. Lorsqu’on s’intéresse aux propriétés de rationalité de $f$ sur les les corps de nombres, on peut soit exiger que la base soit ${𝐏}_1$, soit l’autoriser à être une courbe de genre $0$. Nous comparons ces deux points de vue pour les revêtements non ramifiés en dehors de $\left\{0,1,\infty \right\}$

On construit les fonctions propres sur $\mathbf{R}$ et les valeurs caractéristiques ${\lambda }_n$ du noyau de Hilbert-Schmidt $(x^2+y^2+1{)}^{-1}$. Le spectre est donné par la solution d’une équation transcendante dont le comportement asymptotique est ${\lambda }_n\simeq \frac{1}{2}exp(\pi \sqrt{n})$.

Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\not\equiv -1\left(mod4\right)$, $d:=p_1{p}_2\cdots p_n$ et $k_n=\mathbf{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},...,\sqrt{p_n})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m\left(\sqrt{d}\right)$ pour un entier $m\<n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe...

Soit ${\widehat{A}}^2$ l’algèbre sur l’axe réel introduite par A. Beurling. On se propose de déterminer les fonctions définies sur le plan complexe à valeurs complexes telles que la fonction composée $\phi \left(f\right)$ appartienne à ${\widehat{A}}^2$ pour chaque $f$ de ${\widehat{A}}^2$. On se propose de caractériser de telles fonctions pour des espaces voisins de ${\widehat{A}}^2$.

Soit $a$ un entier $\ge 3$. Pour $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous considérons la suite de Lucas ${𝑢}_{𝑛}=({\alpha }^{𝑛}-{\beta }^{𝑛})/(\alpha -\beta )$. Nous montrons que, pour $a\ge 4,{𝑢}_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n\>3$ sauf si $a=338$ et $n=4$.