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Recherches sur la topologie fine et ses applications : théorie du potentiel

Marcel Brelot (1967)

Annales de l'institut Fourier

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La conférence de l’auteur publiée dans ces Annales tome 15,1 donnait des résultats sans démonstration. Certaines ont été faites dans un article des Anaïs de l’Académie des Sciences du Brésil (1965) et les autres se trouvent ici. Elles concernent, en axiomatique des fonctions harmoniques, avec plus ou moins d’axiomes, l’interprétation de l’effilement à la frontière minimale Δ , de l’espace Ω , comme effilement relatif à une famille convenable de fonctions s.c.i ≥ 0 sur Ω ∪ Δ 1 . Mais le prolongement...

Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel

Linda Naïm (1957)

Annales de l'institut Fourier

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Le présent travail montre le rôle de la frontière de Martin dans deux questions importantes de la théorie du potentiel : allure à la frontière des fonctions surharmoniques > 0 et problème de Dirichlet. On considère essentiellement un “espace de Green” Ω , pourvu par définition d’une fonction de Green G , et dont la réunion avec la frontière de Martin Δ est l’espace de Martin Ω ^ . Pour tout point x 0 ∈ Δ , on sait que la fonction de Green “normalisée” G ( x , y ) G ( x , y 0 ) ( y ∈ Ω , y 0 fixé ∈ Ω ) , notée aussi K ( x , y ) , admet pour x → x 0 une...

Quelques propriétés des fonctions surharmoniques associées à une équation uniformément elliptique de la forme L u = - ∑ i ∂ ∂ x i ( ∑ j a i j ∂ u ∂ x j ) = 0

Rose-Marie Hervé (1965)

Annales de l'institut Fourier

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Si l’on prend comme fonctions harmoniques les solutions locales de l’équation, les fonctions surharmoniques associées sont telles que les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels et que l’effilement ne dépend pas de l’opérateur L  ; on détermine aussi la plus grande minorante harmonique dans ω et ∈ W 1 , 2 ( ω ) .

Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Jean-Jacques Moreau (1971)

Annales de l'institut Fourier

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Soit Ω , ouvert de R n et f : Ω → R , continue. On dit qu’une majorante surharmonique de f dans Ω est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de f . Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques ≥ 0 (lesquelles correspondent à f = 0 ) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de Ω , relativement à la structure uniforme de R ‾ . On traite le problème de Dirichlet :...

Sur la fonction de Green pour un domaine fin

Bent Fuglede (1975)

Annales de l'institut Fourier

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Dans le cadre axiomatique de M. Brelot et R.-M. Hervé (cas A 2 y compris l’axiome de domination) on montre que, pour tout domaine U par rapport à la topologie fine et pour tout point y ∈ U , la fonction (“fine ”) de Green pour U à pôle y est caractérisée (à un facteur constant près) comme un potentiel fin > 0 relatif à U qui est finement harmonique dans U ∖ { y } .

Compléments à la théorie de J. Deny

Marcel Brelot (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Quelques autres démonstrations d’un point essentiel de la théorie précédente, mais surtout extension systématique de la théorie au cas de l’espace rendu compact par adjonction d’un point à l’infini ℛ m . On raisonne sur un compact E qui peut alors contenir ℛ m et on utilise des potentiels - h a où a joue le rôle de ℛ m pour le potentiel ordinaire, ce qui permet une étude générale plus symétrique. D’autres compléments sont donnés montrant dans un cas simple qu’il faudrait approfondir, la possibilité...