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Étude d'un idéal particulier, d'indice fini dans le carré de l'idéal d'augmentation, associé à un caractère de Dirichlet d'un groupe fini

Hassan Oukhaba, Gilles Robert (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We describe here two sets of generators of an ideal Δ ( ψ ) = M ( ψ ) , of finite index inside the square I 2 of the augmentation ideal I of ℤ [ G ] , associated to the Dirichlet character ψ of the finite group G . That peculiar ideal first appeared in questions related to the computation of class number formulas for abelian non ramified extensions of 𝒜 -fields cf. [2] and [3], satisfying certain special conditions which are outlined in the introduction of [1]. A rough idea of these formulas is given in §§2 and...

Sur l'arithmétique d'une extension diédrale

Anne-Marie Bergé (1972)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donnée une extension galoisienne E / Q de groupe de Galois G diédral, on montre que l’anneau B des entiers de E est un Z [ G ] -module isomorphe à l’ordre formé des éléments de Q [ G ] qui transportent B dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension E / Q . On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre 𝔇 de Z dans Q [ G ] contenant Z [ G ] , d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur 𝔇 , et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes...

Décomposition des nombres premiers dans des extensions non abéliennes

Philippe Satge (1977)

Annales de l'institut Fourier

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Soit K un corps de nombre galoisien non abélien sur Q dont le groupe de Galois G possède un sous-groupe abélien distingué H vérifiant les propriétés suivantes : l’ordre de H est impair si son corps des invariants est un corps réel de degré strictement supérieur à 2, et l’application transfert qui lui est associée est l’application triviale. On montre que la décomposition d’un nombre premier dans une telle extension dépend de la représentation de ce nombre par certaines formes à coefficients...

Sur les ℓ -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier ℓ

Georges Gras (1973)

Annales de l'institut Fourier

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Soit H ( K ) le ℓ -groupe des classes d’idéaux d’une extension K / k cyclique de degré premier ℓ et soit H i = Ker ( σ - 1 ) i ( σ générateur de Gal ( K / k ) ). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer H i + 1 et l’ordre de H i + 1 / H i à partir de H i . On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de H ( K ) et, d’autre part, une étude générale des problèmes de ℓ -classes d’idéaux.

Décomposition du Galois-module des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps de nombres ou d'un corps local

Françoise Bertrandias (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit A un anneau de Dedekind, de corps des fractions K , et soit L une extension galoisienne de K , dont le groupe de Galois G est cyclique d’ordre premier. On note B la clôture intégrale de A dans L . Il existe une unique décomposition du A [ G ] -module B en somme directe de sous-modules indécomposables. On détermine cette décomposition lorsque K est un corps local ou un corps de nombres. Le résultat dépend d’une part des caractères irréductibles de G sur K , d’autre part des nombres de ramification...

Bases normales d'entiers dans les extensions de Kummer de degré premier

E. J. Gómez Ayala (1994)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Si F est un corps de nombres, on note 𝔒 F son anneau d’entiers ; si E / F est une extension galoisienne finie de corps de nombres de groupe de Galois G , on appelle base normale de 𝔒 E sur 𝔒 F toute base de 𝔒 E en tant que 𝔒 F -module de la forme a g g ∈ G avec a ∈ 𝔒 E . On démontre dans ce travail un critère d’existence de base normale d’entiers pour les extensions de Kummer de degré premier, qui permet une construction explicite en cas d’existence ; les principaux outils pour la démonstration sont une formule de...

Une formule de Riemann-Hurwitz pour le groupe de Selmer d'une courbe elliptique

Alexis Michel (1993)

Annales de l'institut Fourier

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Soit E une courbe elliptique avec multiplication complexe, définie sur un corps de nombres F . Soit p un nombre premier. En ajoutant certains points de p -torsion de E à F , on construit une ℤ p -extension F ∞ de F . On associe à F ∞ un groupe de Selmer. Pour une p -extension galoisienne de F ∞ , Wingberg a montré, sous les conjectures arithmétiques usuelles, un analogue de la formule de Riemann-Hurwitz pour le corang du groupe de Selmer en haut de la tour. Nous donnons une nouvelle preuve...