Décomposition des nombres premiers dans des extensions non abéliennes

Philippe Satge

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Résidus de puissances et formes quadratiques

Dominique Bernardi (1980)

Annales de l'institut Fourier

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Pour tout entier $q$ et certains entiers $n$ , les nombres premiers $p$ - congrus à 1 modulo $n$ - tels que $q$ soit le résidu d’une puissance $n$ -ième modulo $p$ sont caractérisés par le fait que certains systèmes de $φ (n) / 2$ formes quadratiques à coefficients entiers en $φ (n)$ variables représentent le $φ (n) / 2$ -uplet $(p, 0, 0 ..., 0)$ . La démonstration de ce résultat est accompagnée d’une méthode explicite de construction de ces systèmes.

Étude d'un idéal particulier, d'indice fini dans le carré de l'idéal d'augmentation, associé à un caractère de Dirichlet d'un groupe fini

Hassan Oukhaba, Gilles Robert (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We describe here two sets of generators of an ideal $Δ (ψ) = M (ψ)$ , of finite index inside the square $I^{2}$ of the augmentation ideal $I$ of $ℤ [G]$ , associated to the Dirichlet character $ψ$ of the finite group $G$ . That peculiar ideal first appeared in questions related to the computation of class number formulas for abelian non ramified extensions of $𝒜$ -fields cf. [2] and [3], satisfying certain special conditions which are outlined in the introduction of [1]. A rough idea of these formulas is given in §§2 and...

Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2 p$

Jacques Martinet (1969)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Nous nous occupons dans cet article de l’arithmétique des extensions galoisiennes $N / κ$ dont le groupe de Galois est un groupe diédral $D_{p}$ , $p$ premier. Le théorème fondamental est le suivant (Théorème de la base normale) : Soit $A$ un anneau principal de caractéristique $O$ , tel que $A / p A$ soit un corps à $p$ éléments. Soit $κ$ le corps des fractions de $A$ , $N$ une extension galoisienne de $κ$ dont le groupe de Galois $G$ est isomorphe à $D_{p}$ , et $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $N$ . Supposons en outre...

Sur les $ℓ$ -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $ℓ$

Georges Gras (1973)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $H (K)$ le $ℓ$ -groupe des classes d’idéaux d’une extension $K / k$ cyclique de degré premier $ℓ$ et soit $H_{i} = Ker (σ - 1)^{i}$ ( $σ$ générateur de $Gal (K / k)$ ). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer $H_{i + 1}$ et l’ordre de $H_{i + 1} / H_{i}$ à partir de $H_{i}$ . On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $H (K)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $ℓ$ -classes d’idéaux.

Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de $𝐐$

Marie-Nicole Gras (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $K$ une extension cyclique réelle de degré 4 de $Q$ de sous-corps quadratique $k$ . Nous déterminons le nombre de classes et les unités de $K$ puis nous montrons que le problème de la “capitulation” de classes de $k$ dans $K$ est caractérisé par des propriétés élémentaires des unités de $K$ . Nous avons obtenu une table numérique du nombre de classes, des unités ainsi que de l’éventuelle “capitulation” d’une classe, pour tous les corps $K$ de conducteur $f < 4000$ ; nous en publions ici un extrait. ...

Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n ℓ^{s}$ sur un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent (1981)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $N$ une extension cyclique $ℓ$ -primaire d’un corps de nombres $K$ . On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$ , pour un $n$ étranger à $ℓ$ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal $(K / H)$ . On étudie la structure galoisienne des groupes de $ℓ$ -classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $ψ$ -composantes, lorsque $ψ$ parcourt le groupe des caractères $ℓ$ -adiques irréductibles de $T$ . Le choix d’un générateur convenable $θ$ dans l’idéal d’augmentation...

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