Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_f$ un prolongement de la fonction $f\left(z^{-1}\right)$ à $(\mathbf{C}\setminus {\mathbf{R}}^{*}\cup \{\infty \left\}\right)$, on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant ${\mathbf{R}}^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{\lambda \>0}\parallel (I+\lambda V{)}^{-1}\parallel \<\infty$, un opérateur $H_f\left(V\right)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$. On montre que l’on a ${\sigma }^e[H_f\left(V\right)]=H_f[{\sigma }^e\left(V\right)]$ (où ${\sigma }^e$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_f$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f\ne 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_f\left(V\right)$ est...

Soit $\partial \phi$ un sous-différentiel (non coercif) dans un espace de Hilbert. On étudie l’existence de solutions bornées ou périodiques pour l’équation $$\frac{du}{dt}+\partial \phi \left(u\right(t\left)\right)\ni f\left(t\right),t\ge 0.$$ Deux solutions périodiques éventuelles diffèrent d’une constante. Si $f$ est périodique et $(\dot{I}+\partial \phi {)}_{-1}$ compact, toute trajectoire bornée est asymptote pour $t\to +\infty$ à une trajectoire périodique.

On estime la croissance à l’infini, en norme $L^p$, des sommes trigonométriques dont les fréquences (fixes) sont proches d’entiers (la norme $L^p$ est calculée sur un intervalle de longueur fixe dont le centre tend vers l’infini).

$\Lambda$ étant une suite de nombres complexes ${\lambda }_j$ $(0\<|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|...)$, on désigne par ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ (resp. ${ℰ}_K\left(\Lambda \right))$ l’ensemble des fonctions $f\left(x\right)$ (resp. $f\left(z\right)$) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$) par des combinaisons linéaires ${\sum }_1^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left(\mathrm{resp}.{\sum }_4^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}z}\right)$. On désigne par $ℰ\left(\Lambda \right)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$, par ${ℰ}_{\Omega }\left(P\right)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe...

Dans le chapitre I on indique la croissance de $\omega$ et de la fonction convexe $C$ pour que de $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-\omega \left(\right|y\left|\right)$ $(y=\mathrm{Im}z)$, $log\left|F\right(n\left)\right|\le -C\left(\right|n\left|\right)$ ($n$ entier quelconque, $F$ fonction entière) résulte $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-C\left(a\right|z\left|\right)$. Dans le chapitre II on indique des propriétés fonctionnelles qui sont nécessairement valables sur $[-\pi ,\pi ]$ si on les suppose sur une partie de cet intervalle, la série de Fourier correspondante étant “assez” lacunaire. Le chapitre III montre l’analogie entre les méthodes employées dans II et celles utilisées dans les...