Automates finis et ensembles normaux

Christian Mauduit

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Une nouvelle propriété des suites de Rudin-Shapiro

Martine Queffelec (1987)

Annales de l'institut Fourier

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Les suites de Rudin-Shapiro ont des propriétés extrémales en analyse harmonique. En remarquant qu’une telle suite est reconnaissable par un automate fini, nous en décrivons explicitement le spectre (type spectral maximal, multiplicité spectrale fonction multiplicité). Nous établissons par exemple, que la suite de Rudin-Shapiro généralisée à l’ordre $q$ contient dans son spectre une composante de Lebesgue, de multiplicité $q φ (q)$ .

Réalisation de formes $ℤ$ -bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

Grégory Berhuy (2000)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $ℤ$ -bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $ℚ$ -isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $ℤ [α]$ , où $α$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S \in M_{2 n} (ℤ)$ symétrique, avec det $S \neq 0$ (et det $S \neg \equiv - 1$ (mod $ℚ^{* 2}$ ) si $n = 1$ ), il existe un entier algébrique $α$ , une involution $ℚ$ -linéaire $σ$ de $ℚ (α), λ \in ℚ (α) σ$ -symétrique et une $ℤ$ -base $v_{1}, \dots, v_{2 n}$ d’un idéal de $ℤ [α]$ tels que $S = (T r_{ℚ (α) / ℚ} (λ v_{i} v_{j}^{σ}))$ .

Le théorème de Floquet pour les systèmes de la forme $d X = (\sum_{k = 1}^{n} P_{k} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}) d t_{k}) X$

R. Gérard (1966)

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze

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Codages de rotations et phénomènes d'autosimilarité

Boris Adamczewski (2002)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Nous étudions une classe de suites symboliques, les codages de rotations, intervenant dans des problèmes de répartition des suites ${(n α)}_{n \in ℕ}$ et représentant une généralisation géométrique des suites sturmiennes. Nous montrons que ces suites peuvent être obtenues par itération de quatre substitutions définies sur un alphabet à trois lettres, puis en appliquant un morphisme de projection. L’ordre d’itération de ces applications est gouverné par un développement bi-dimensionnel de type “fraction...

Systèmes aux $q$ -différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie

Jacques Sauloy (2000)

Annales de l'institut Fourier

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G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux $q$ -différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion $P$ et des exposants en $0$ et $\infty$ . Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement $0$ et $\infty$ et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”....

Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues

Thierry Fack, Pierre de La Harpe (1980)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $M$ une algèbre de von Neumann finie. Nous montrons que l’espace des sommes finies de commutateurs de $M$ coïncide avec le noyau de la trace centrale. Si $M$ est un facteur, il en résulte par exemple que tout élément est une combinaison linéaire finie de projecteurs de dimension $1 / 2$ . Nous montrons aussi dans ce cas que le groupe dérivé de $G L (M)$ coïncide avec le noyau du déterminant de Fuglede-Kadison.

Suites de Fibonacci généralisées et Chaínes de Markov.

Mehdi Mouline, Mustapha Rachidi (1995)

Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales

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Inverses généralisés, problèmes d'estimation et épreuve de l'hypothèse linéaire générale en analyse statistique multivariate

G. Lennes (1976)

Revue de Statistique Appliquée

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Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot

Anne Bertrand-Mathis (1985)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $θ$ un nombre de Pisot de degré $s$ ; nous avons montré précédemment que l’endomorphisme du tore $T^{s}$ dont $θ$ est valeur propre est facteur du $θ$ -shift bilatéral par une application continue $q_{s}$ ; nous prouvons ici (théorème 1) que l’application $q_{s}$ conserve l’entropie de toute mesure invariante sur le $θ$ -shift. Ceci permet de définir l’entropie d’un nombre dans la base $θ$ et d’en étudier la stabilité. Nous généralisons également des résultats de Kamae, Rauzy et Bernay.