Soit $\mathrm{Re}A$, l’espace de Banach des fonctions continues sur $T$ qui sont parties réelles de fonctions de l’algèbre du disque $A\left(D\right)$. On étudie les ensembles de $T$ de synthèse pour $\mathrm{Re}A$ et l’algèbre des multiplicateurs de $\mathrm{Re}A$. On en déduit des théorèmes d’approximation dans $A\left(D\right)$ par des produits de Blaschke.

Soit $A$ une algèbre uniforme et soit $I$ un idéal fermé de $A$ tel que $A/I$ soit une algèbre isométriquement isomorphe à $C\left(X\right)$, il existe alors une sous-algèbre fermée $B\subset A$ telle que $A$ est isométriquement isomorphe à $I\oplus B$.

Étant donnés un compact $K$ du plan complexe, et une mesure non nulle sur $K$, on étudie $H^{\infty }\left(\mu \right)$, l’adhérence dans $L^{\infty }\left(\mu \right)$, pour la topologie $\sigma \left(L^{\infty }\right(\mu ),L^1(\mu \left)\right)$, de l’algèbre des fractions rationnelles d’une variable complexe, à pôles hors de $K$. Le résultat principal obtenu est qu’il existe un sous-ensemble $E_{\mu }$ de $K$, éventuellement vide, mesurable pour la mesure de Lebesgue plane, et une mesure ${\mu }_s$, éventuellement nulle, absolument continue par rapport à la mesure $\mu$, tels que : $H^{\infty }\left(\mu \right)$ soit isométriquement isomorphe à $H^{\infty }({\lambda }_{E_{\mu }})\oplus L^{\infty }({\mu }_s)$, où ${\lambda }_{E_{\mu }}$...

Soient $A$ une $C^{*}$-algèbre approximativement finie simple avec unité, $G{L}_1\left(A\right)$ le groupe des inversibles et $U_1\left(A\right)$ le groupe des unitaires de $A$. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme ${\Delta }_T$, appelé déterminant universel de $A$, de $G{L}_1\left(A\right)$ sur un groupe abélien associé à $A$. Nous montrons ici que, pour qu’un élément $x$ dans $G{L}_1\left(A\right)$ ou dans $U_1\left(A\right)$ soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que $x\in \mathrm{Ker}\left({\Delta }_T\right).$ Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique $K_1\left(A\right)\to K_1^{\mathrm{top}}\left(A\right).$ On établit...

L’espace $P{F}_p\left(G\right)$ des $p$-pseudofonctions sur un groupe localement compact $G$ est le complété de $L_1\left(G\right)$ pour la norme de convoluteur de $L_p\left(G\right)$. Dans le cas où le groupe $G$ est moyennable alors le banach dual à $P{F}_p\left(G\right)$ s’identifie avec une certaine algèbre $B_p\left(G\right)$ de fonctions continues sur $G$. L’algèbre $B_p\left(G\right)$ est déjà connue mais ici on montre que $B_p$ est un foncteur de groupes localement compacts. Pour $p=2$ alors $P{F}_2\left(G\right)$ est l’algèbre $C^{*}$ de $G$ dont le dual est $FS\left(G\right)$, l’algèbre de transformées de Fourier-Stieltjes. Donc, pour un groupe moyennable,...