Soit $G$ un groupe commutatif localement compact. On se propose de déterminer les fonctions $f$, définies sur le disque-unité ouvert du plan complexe $[z:|z|\<1]$, à valeurs complexes, telles que la fonction composée $f\left(\phi \right)$ soit définie-positive chaque fois que $\phi$ est une fonction définie-positive sur $G$ avec $\left|\phi \right|\<1$ partout. On prouve que si $G$ contient des éléments dont les ordres sont aussi grands qu’on veut, alors il faut et il suffit que $f$ soit représentée par une série convergente pour $\left|z\right|\<1$ ...

Soient $a_1,...,a_n$ des éléments d’une $b$-algèbre commutative unifère $A$. On définit et étudie un “spectre” de $a=(a_1,...,a_n)$ qui dépend de la croissance des fonctions $u_1\left(s\right),...,u_n\left(s\right)$ de l’égalité spectrale $$(a_1-s_1)u_1\left(s\right)+\cdots +(a_n-s_n)u_n\left(s\right)=1$$ près du spectre simultané. À partir des propriétés de ce spectre, on construit un calcul fonctionnel qui, réduit au cas banachique, s’étend à certaines fonctions supposées seulement holomorphes à l’intérieur du spectre simultané. Ce calcul fonctionnel permet aussi d’étudier la régularité des éléments...

Dans ce travail, nous avons montré que si $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, où les $x_i$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$ linéairement independants dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_0$ de $\Omega$, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ et une fonction $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ tels que $P+a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Cet article établit quelques propriétés des distributions sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$ dont le hessien est une mesure bornée. Après quelques propriétés topologiques – Compacité faible des bornées de $HB\left(\Omega \right)$ lorsque $\Omega$ est borné, densité des fonctions régulières pour une topologie assez finie – on s’intéresse au comportement sur le bord de $\Omega$ lorsque $\partial \Omega$ est assez régulier; pour ce faire, on est amené à étudier celui des fonctions de $W^{2,1}$. On montre enfin dans une 3ème partie des théorèmes d’injection de...

$G$ et $G^{\text{'}}$ étant deux groupes abéliens localement compacts, $\phi$ un isomorphisme local de $G$ vers $G^{\text{'}}$, une fonction de $A\left(G\right)$ à support compact assez petit est transformée par $\phi$ en une fonction de $A\left(G^{\text{'}}\right)$. En particulier, les algèbres de germes en un point des fonctions de la classe $A$ sur $G$ et $G^{\text{'}}$ sont isomorphes.

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underset{\_}{G}=GL\left(N\right)$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$ l’algèbre de Hecke de $\underset{\_}{G}\left(F\right)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${𝒫}_F^n$ de $\underset{\_}{G}({𝒪}_F)$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underset{\_}{G}\left(F\right)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\text{'}}$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\text{'}}}/{𝒫}_{F^{\text{'}}}^r$), il existe ${\gamma }^{\text{'}}\in \underset{\_}{G}(F^{\text{'}})$ semi-simple régulier tel...