Si $G$ est un groupe de Lie compact semi-simple, il existe des fonctions non analytiques qui opèrent dans le centre de l’algèbre des transformées de Gelfand de l’algèbre de groupe de $G$.

Dans ce travail, nous avons montré que si $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, où les $x_i$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$ linéairement independants dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_0$ de $\Omega$, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ et une fonction $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ tels que $P+a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Dans cet article nous donnons une formule pour les coefficients de l’inverse des matrices de Toeplitz respectivement de symboles $f\left(e^{i\theta }\right)=(1-cos\theta ){\left|f_1\left(e^{i\theta }\right)\right|}^2$ (cas singulier) et $|f_1\left(e^{i\theta }\right){|}^2$ (cas régulier) où $f_1$ est une fonction appartenant à  une classe de fonctions holomorphes sur un disque ouvert contenant le tore $𝕋$ et sans zéro sur $𝕋$. Un cas particulier défini par $f_1=\frac{Q}{P}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes sans zéro sur $𝕋$ est traité. Dans le cas où le symbole est singulier, cette formule présente l’intérêt d’avoir un second ordre....

Soit E un espace de Fréchet séparable ne contenant pas $c_0$; soit de plus $\left(X_n\right)$ une suite symétrique de vecteurs aléatoires à valeurs dans E. Alors si la série de Fourier aléatoire $\sum X_{n}exp(i⟨{\lambda }_n,t⟩)$, $t\in R^d$, a p.s. ses sommes partielles localement uniformément bornées dans E, nécessairement elle converge p.s. uniformément sur tout compact de $R^d$ vers une fonction aléatoire à valeurs dans E et à trajectoires continues.

Soient $P\left(\underset{\_}{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underset{\_}{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant : $$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underset{\_}{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underset{\_}{x}\right)}{Q\left(\underset{\_}{x}\right)}=+\infty .$$ Soient $\underset{\_}{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underset{\_}{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underset{\_}{\eta }}^{\underset{\_}{\eta }}R(\underset{\_}{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underset{\_}{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underset{\_}{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Pour majorer la somme d’exponentielle $$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$ où $F:$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^4$, nous étudions le procédé $A^{k}BAD,\text{où}A\text{et}B$ désignent comme d’habitude les transformations $A\text{et}B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.