Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables

Patrick Sargos

Annales de l'institut Fourier (1984)

  • Volume: 34, Issue: 3, page 83-123
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let P ( x _ ) = P ( x 1 , ... , x n ) and Q ( x _ ) = Q ( x 1 , ... , x n ) be tow polynomials with positive coefficients such that: lim | x _ | → + ∞ x 1 , ... , x n ≥ 1 P ( x _ ) Q ( x _ ) = + ∞ . Let η _ = ( η 1 , ... , η n ) ∈ N n and R = P / Q . We study the Dirichlet series Z ( R , η _ ; s ) = ∑ η 1 , ... , η n = 1 ∞ η _ η _ R ( η _ ) - s : abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function s ↦ Z ( R , η _ ; s ) only depends on η _ and some particular monomials of P and Q : the extremal monomials.

How to cite

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Sargos, Patrick. "Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables." Annales de l'institut Fourier 34.3 (1984): 83-123. <http://eudml.org/doc/74649>.

@article{Sargos1984,
abstract = {Soient $P(\underline\{x\}) = P(x_1,\ldots , x_n)$ et $Q(\underline\{x\}) = Q(x_1,\ldots ,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :\begin\{\}\lim \_\{\{\vert \underline\{x\}\vert \rightarrow +\infty \} \atop \{x\_1,\ldots , x\_n\ge 1\}\} \{P(\underline\{x\})\over Q(\underline\{x\})\} = + \infty .\end\{\}Soient $\underline\{\eta \}= (\eta _1,\ldots , \eta _n) \in \{\bf N\}^n$ et $R= P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underline\{\eta \};s) = \sum ^\infty _\{\eta _1,\ldots , \eta _n=1\} \{\underline\{\eta \}\} ^\{\underline\{\eta \}\}R(\{\underline\{\eta \}\} )^\{-s\}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underline\{\eta \};s)$ qui ne dépend que de $\underline\{\eta \}$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.},
author = {Sargos, Patrick},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Dirichlet series associated with rational function of several variables; abscissa of absolute convergence; existence and nature of analytic continuation; order of growth in vertical strips; extremal monomials},
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title = {Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables},
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TY - JOUR
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TI - Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables
JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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KW - Dirichlet series associated with rational function of several variables; abscissa of absolute convergence; existence and nature of analytic continuation; order of growth in vertical strips; extremal monomials
UR - http://eudml.org/doc/74649
ER -

References

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  1. [1] M.F. ATIYAH, Resolution of singularities and division of distribution, Comm. Pure Appli. Math., 23, 2 (1970), 145-150. Zbl0188.19405MR41 #815
  2. [2] M. BERGER, Géométrie, volume 3, Cedic-Fernand Nathan, Paris, (1978). Zbl0423.51001
  3. [3] I.N. BERNSTEIN and S.I. GEL'FAND, Meromorphic property of the function Pλ, Funkts. Analiz, 3, N°1 (1969), 84-86. Zbl0208.15201MR40 #723
  4. [4] N. BOURNAKI, Espaces vectoriels topologiques, chapitre 2, Hermann, Paris, 1966. 
  5. [5] P. CASSOU-NOGUES, Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Ann. Inst. Fourier, 31-4 (1981), 1-36. Zbl0496.12009MR83e:12011
  6. [6] P. CASSOU-NOGUES, Séries de Dirichlet, Journées Arithmétiques de Metz, Astérisque, 94 (1982), 1-15. Zbl0515.12011
  7. [7] P. CASSOU-NOGUES, Prolongement des séries de Dirichlet associées à un polynôme à deux indéterminées (à paraître). 
  8. [8] J. DIEUDONNE, Eléments d'analyse, tome 2, Gauthier-Villars, 1974. 
  9. [9] I.M. GEL'FAND and G.E. SHILOV, Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, New-York, 1964. Zbl0115.33101
  10. [10] E. LINDELOF, Le Calcul des Résidus, Chelsea Publishing Company, 1947. 
  11. [11] K. MAHLER, Uber einer Satz von Mellin, Math. Ann, 100 (1928), 384-395. JFM54.0369.03
  12. [12] H. MELLIN, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geshlecht, Acta Soc. Scient. Fennicae, 29, N° 4 (1900). 
  13. [13] O. MOUSSA, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Mémoire de D.E.A., Université de Dakar (1983). 
  14. [14] P. SARGOS, Séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables, Séminaire de Théorie des nombres, exposé N°1, Public. Univ. Bordeaux (1981-1982). Zbl0524.32001
  15. [15] E.C. TITCHMARSH, The Theory of Functions, Clarendon Press, Oxford, 1949. Zbl0035.18001

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