Soit ${\widehat{A}}^2$ l’algèbre sur l’axe réel introduite par A. Beurling. On se propose de déterminer les fonctions définies sur le plan complexe à valeurs complexes telles que la fonction composée $\phi \left(f\right)$ appartienne à ${\widehat{A}}^2$ pour chaque $f$ de ${\widehat{A}}^2$. On se propose de caractériser de telles fonctions pour des espaces voisins de ${\widehat{A}}^2$.

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul...

Let $K=k\left(\sqrt{-p\epsilon \sqrt{l}}\right)$ with $k=\mathbb{Q}\left(\sqrt{l}\right)$ where $l$ is a prime number such that $l=2$ or $l\equiv 5mod8$, $\epsilon$ the fundamental unit of $k$, $p$ a prime number such that $p\equiv 1mod4$ and ${\left(\frac{p}{l}\right)}_4=-1$, $K_2^{\left(1\right)}$ the Hilbert $2$-class field of $K$, $K_2^{\left(2\right)}$ the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$ and $G=Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ the Galois group of $K_2^{\left(2\right)}/K$. According to E. Brown and C. J. Parry [7] and [8], $C_{2,K}$, the Sylow $2$-subgroup of the ideal class group of $K$, is isomorphic to $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, consequently $K_2^{\left(1\right)}/K$ contains three extensions $F_i/K$ $(i=1,2,3)$ and the tower of the Hilbert $2$-class field of $K$ terminates at either $K_2^{\left(1\right)}$ or $K_2^{\left(2\right)}$. In this...

Soit $a$ un entier $\ge 3$. Pour $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous considérons la suite de Lucas ${𝑢}_{𝑛}=({\alpha }^{𝑛}-{\beta }^{𝑛})/(\alpha -\beta )$. Nous montrons que, pour $a\ge 4,{𝑢}_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n\>3$ sauf si $a=338$ et $n=4$.

La racine carrée d’une fonction $\ge 0$ de classe $C^{\infty }$ infiniment plate sur l’ensemble de ses zéros n’est pas nécessairement de classe $C^2$. Elle est toujours de classe $C^1$.