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Sur l'approximation des fonctions de première classe

Stefan Kempisty (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Mazurkiewicz a établi une propriété remarquable de fonctions de première classe. Il a montré, en se servant de nombres transfinis, qu'étant donnée une fonction f(x) bornée de classe 1 de Baire et un nombre positif ϵ, on peut construire une fonction φ(x) qui est une différence de deux fonctions semi-continues supérieurement et qui vérifie l'inégalité |f(x)-φ(x)| ≤ ϵ Or un théorème analogue a été énoncé par de la Vallée Poussin: Soit f une fonction bornée de classe 1: on peut quel que...

Sur les fonctions développables en séries absolument convergentes de fonctions continues

Wacław Sierpiński (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants: Problèmes 1: Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction d'une variable réelle f(x) soit développable en une série absolument convergente de fonctions continues? et Problèmes 2: Existe-il une fonction de première classe qui ne soit pas somme d'une série absolument convergente de fonctions continues?

Sur les fonctions de classe 1

Stefan Mazurkiewicz (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de trouver la solution de problème suivant: Problème: Peut on représenter toute fonction de classe 1 par une différence des deux fonctions semi-continues supérieurement? et de démontrer le théorème general: Théorème: Prémisse: f(x) est une fonction bornée de classe 1 dans un intervalle I. Thèse: Pour tout nombre ϵ > 0 il existe deux fonctions G_1(x), G_2(x) semicontinues supérieurement dans I et telles que: |f(x)-[G_1(x)-G_2(x)]| ≤ ϵ x ⊂ I.

Sur les séries itérées des fonctions continues

Stefan Kempisty (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer (sans l'usage de nombres transfinis), qu'une fonction bornée ou non qui est limite de fonctions continues peut être représentée par une série absolument convergente des séries absolument convergentes de fonctions continues.