Sur l’anneau des entiers des extensions galoisiennes non abéliennes de degré $pq$ des rationnels

Jean Cougnard

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Unités cyclotomiques, unités semi-locales et $ℤ_{ℓ}$ -extensions

Roland Gillard (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $K$ un corps abélien réel, $ℓ$ un nombre premier, premier au degré de $K / Q$ . Cet article utilise une conjecture de J. Coates et S. Lichtenbaum (ou une conjecture analogue pour $ℓ = 2$ , qu’il énonce et discute) pour étudier, pour chaque étage de la $Z_{ℓ}$ -extension de $K$ , la décomposition de la $ℓ$ -partie de la formule analytique du nombre de classes suivant l’action du groupe de Galois de $K / Q$ . Pour cela, est établie une formule sur la $Φ$ -composante ( $Φ$ -caractère $ℓ$ -adique irréductible) du quotient du groupe...

Décomposition du Galois-module des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps de nombres ou d'un corps local

Françoise Bertrandias (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $A$ un anneau de Dedekind, de corps des fractions $K$ , et soit $L$ une extension galoisienne de $K$ , dont le groupe de Galois $G$ est cyclique d’ordre premier. On note $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ . Il existe une unique décomposition du $A [G]$ -module $B$ en somme directe de sous-modules indécomposables. On détermine cette décomposition lorsque $K$ est un corps local ou un corps de nombres. Le résultat dépend d’une part des caractères irréductibles de $G$ sur $K$ , d’autre part des nombres de ramification...

Sur la structure galoisienne du groupe des unités d’un corps abélien de type $(p, p)$

Lyliane Bouvier, Jean-Jacques Payan (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Pour décrire la structure galoisienne à $Z [G]$ -isomorphisme près du quotient par ${\pm 1}$ du groupe des unités d’une extension abélienne absolue de groupe de Galois $G$ de type $(p, p)$ , on amorce la description des $Z [G]$ -modules de type fini libres sur $Z$ dont le caractère est contenu dans la représentation d’augmentation. La classification est complète pour les modules de rang inférieur ou égal à 3 ; elle est appliquée à la description donnée par T. Kubota des unités d’un corps biquadratique non cyclique en...

Points d’ordre fini d’un groupe formel sur une extension non ramifiée de $ℤ_{p}$

Jean-Marc Fontaine (1974)

Mémoires de la Société Mathématique de France

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Une formule de Riemann-Hurwitz pour le groupe de Selmer d'une courbe elliptique

Alexis Michel (1993)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $E$ une courbe elliptique avec multiplication complexe, définie sur un corps de nombres $F$ . Soit $p$ un nombre premier. En ajoutant certains points de $p$ -torsion de $E$ à $F$ , on construit une $ℤ_{p}$ -extension $F_{\infty}$ de $F$ . On associe à $F_{\infty}$ un groupe de Selmer. Pour une $p$ -extension galoisienne de $F_{\infty}$ , Wingberg a montré, sous les conjectures arithmétiques usuelles, un analogue de la formule de Riemann-Hurwitz pour le corang du groupe de Selmer en haut de la tour. Nous donnons une nouvelle preuve...

Descente et parallélogramme galoisiens

Richard Massy, Sylvie Monier-Derviaux (1999)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $p$ un nombre premier impair. Soit $D / J$ une $p$ -extension galoisienne de corps ne contenant pas les racines $p$ -ièmes de l’unité : $J \cap μ_{p} = \{1\}$ . Notons $G$ le groupe de Galois de $D / J$ et $Φ (G)$ son sous-groupe de Frattini. Via une notion de descente galoisienne et les parallélogrammes galoisiens qu’elle induit, nous construisons ici toutes les extensions $D / J$ telles que $Φ (G)$ soit d’ordre $p$ .

Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2 p$

Jacques Martinet (1969)

Annales de l'institut Fourier

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Nous nous occupons dans cet article de l’arithmétique des extensions galoisiennes $N / κ$ dont le groupe de Galois est un groupe diédral $D_{p}$ , $p$ premier. Le théorème fondamental est le suivant (Théorème de la base normale) : Soit $A$ un anneau principal de caractéristique $O$ , tel que $A / p A$ soit un corps à $p$ éléments. Soit $κ$ le corps des fractions de $A$ , $N$ une extension galoisienne de $κ$ dont le groupe de Galois $G$ est isomorphe à $D_{p}$ , et $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $N$ . Supposons en outre...

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