Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ℤ ℓ -extensions

Roland Gillard

Annales de l'institut Fourier (1979)

  • Volume: 29, Issue: 1, page 49-79
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let K be a real abelian number field, ℓ a prime number which does not divide [ K : Q ] and K ∞ the Z ℓ -extension of K . This paper uses a conjecture of J. Coates and S. Lichtenbaum (or for ℓ = 2 an analogous conjecture which is stated and discussed) to study the decomposition, with respect to the action of the Galois group of K / Q , of the ℓ -part of the analytical formula for the class number of any layer of K ∞ / K . For this purpose, let Φ be a ℓ -adic irreducible character, then we prove a formula about the Φ -part of the quotient of the group of semi-local units be a subgroup deduced from the group of cyclotomic units.

How to cite

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Gillard, Roland. "Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ${\mathbb {Z}}_\ell $-extensions." Annales de l'institut Fourier 29.1 (1979): 49-79. <http://eudml.org/doc/74404>.

@article{Gillard1979,
abstract = {Soient $K$ un corps abélien réel, $\ell $ un nombre premier, premier au degré de $K/\{\bf Q\}$. Cet article utilise une conjecture de J. Coates et S. Lichtenbaum (ou une conjecture analogue pour $\ell =2$, qu’il énonce et discute) pour étudier, pour chaque étage de la $\{\bf Z\}_\ell $-extension de $K$, la décomposition de la $\ell $-partie de la formule analytique du nombre de classes suivant l’action du groupe de Galois de $K/\{\bf Q\}$. Pour cela, est établie une formule sur la $\Phi $-composante ($\Phi $-caractère $\ell $-adique irréductible) du quotient du groupe des unités semi-locales par un sous-groupe déduit de celui des unités cyclotomiques.},
author = {Gillard, Roland},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {UNITS; GALOIS GROUP; CLASS NUMBER; L-ADIC CHARACTER; ABELIAN FIELD},
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TY - JOUR
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 29
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UR - http://eudml.org/doc/74404
ER -

References

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  1. [1] J. COATES et S. LICHTENBAUM, On l-adic zeta functions, Annals of Maths, vol. 98, n° 3, pp. 498-550. Zbl0279.12005MR48 #8445
  2. [2] B. FERRERO, Iwasawa invariants of abelian number fields, Math. Ann., 234 (1978). Zbl0347.12004MR58 #5584
  3. [3] A. FRÖHLICH, Ideals in a extension field as modules..., Math. Zeit., 74 (1960), 29-38. Zbl0098.03401
  4. [4] R. GILLARD, Sur le groupe des classes des extensions abéliennes réelles, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, exposé du 3.1.77. Zbl0375.12006
  5. [5] R. GILLARD, Unités cyclotomiques et Zl-extensions, Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, 25 mars 1977. Zbl0392.12006
  6. [6] G. GRAS, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. de l'Inst. Fourier, t. 27, n° 1 (1977), 1-66. Zbl0336.12004MR56 #8534
  7. [7] G. GRAS, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Journées arithmétiques de Caen (1976), Astérisque, n° 41-42 (1977), 35-53. Zbl0445.12002MR56 #5489
  8. [8] R. GREENBERG, On p-adic L functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. J., 67 (1977). Zbl0373.12007MR56 #2964
  9. [9] H. HASSE, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, Akademie Verlag, Berlin, 1952. Zbl0046.26003
  10. [10] K. IWASAWA, A note on class numbers of algebraic number fields, Abh. math. Sem. Hamburg, t. 20 (1956), 257-258. Zbl0074.03002MR18,644d
  11. [11] K. IWASAWA, On some properties of Γ finite modules, Annals of Maths., vol. 70, n° 2, (1959), 291-312. Zbl0202.33102MR23 #A1633
  12. [12] K. IWASAWA, Lectures on p-adic L-functions, Ann. Math. Studies, 74, Princeton Univ. Press. Zbl0236.12001MR50 #12974
  13. [13] K. IWASAWA, On Zl-extensions of algebraic number fields, Annals of Maths, vol. 98 (1973), 246-326. Zbl0285.12008MR50 #2120
  14. [14] H. LEOPOLDT, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper, Abh. Deutsche Akad. Wiss., Berlin, 2 (1954). Zbl0059.03501
  15. [15] H. LEOPOLDT, Über die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers, J. reine angew. Math., 201 (1959), 119-149. Zbl0098.03403MR21 #7195

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