On établit les majorations $\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.002969x}{{(logx)}^{1/2}}$, valable pour $x\ge 142194,\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.6437752x}{logx}$ qui est la meilleure majoration possible en $\frac{x}{logx}$ valable pour tout $x\>1(\left|M\left(5\right)\right|=2=\frac{0.6437752\times 5}{log5})$, et d’autres analogues. On montre enfin comment trouver des majorations effectives $\left|M\left(x\right)\right|\>\frac{c_{k}x{(loglogx)}^{2k}}{{(logx)}^k}$ pour tout $k$.

Let $\tau \left(n\right)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define $$S_{\lambda }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\ge {(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \ge 1\hfill \\ Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\<{(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \<1\hfill \end{array}\right.$$ It has been shown that, if we set $$f(\lambda ,x)=\frac{x}{{(logx)}^{\lambda log\lambda -\lambda +1}\sqrt{loglogx}}$$ the quotient $S\lambda \left(x\right)/f(\lambda ,x)$ is bounded for $\lambda$ fixed.$$ The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $\lambda \ge 2$. For instance, when $\lambda =1/log2$, we prove $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=0.938278681143\cdots$$ and $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=1.148126773469\cdots$$

Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme $$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x\<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$ pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres...

Si $p_k$ est le k ${}^{ème}$ nombre premier, $\theta \left(p_k\right)={\sum }_{i=1}^{k}log{p}_i$ la fonction de Chebyshev. Nous obtenons de nouvelles estimations et des améliorations des bornes données par Rosser et Schoenfeld, Schoenfeld et Robin pour les fonctions $$p_k,\theta \left(p_k\right),S_k=\sum _{i=1}^k{p}_i,\text{et}S\left(x\right)=\sum _{p\le x}p.$$ Ces estimations sont obtenues en utilisant des méthodes basées sur l’intégrale de Stieltjes et par calcul direct pour les petites valeurs.

Soient $\lambda \>1,0\<\eta \<\frac{1}{2}$ et $g\left(n\right)$ une fonction multiplicative vérifiant $\left\{\begin{array}{c}g\left(p\right)=1/\lambda \\ g\left(n\right)\gg n^{-\eta }\end{array}\right.$. Dans ce travail, on établit une formule asymptotique de la somme ${\sum }_{ng\left(n\right)\le x;P\left(n\right)\le y}1$, valable dans le domaine exp${(loglogcx)}^{\frac{5}{3}+ϵ}\le y/\lambda \le cx$, et on donne une condition nécessaire et suffisante pour que cette somme soit équivalente à ${\sum }_{n\le x;P\left(n\right)\le y}1/g\left(n\right)$.