La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty }$ du zéro en $s=1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty }=0$ ou $1$, mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty }$ et $r$ si $r_{\infty }\ge 2$. Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$$p$-adique attachée à $E$ a, en $s=1$, un...