Lo scopo di questo lavoro è di dare una nuova descrizione del $T$-ideale generato dalla nil-identità $x^n=0$ come immagine omeomorfa della $n$-esima potenza tensoriale simmetrica dell'algebra associativa libera $K〈X〉$ su un campo $K$ di caratteristica $0$. Come applicazione calcoliamo il carattere delle conseguenze multilineari di grado $\le n+2$ dell'identità $x^n=0$.