Let $R$ be a ring. In two previous articles [12, 14] we studied the homotopy category $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$ of projective $R$-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is ${\aleph }_1$-compactly generated for any ring $R$, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice $R$. We furthermore analyzed the inclusion $j_{!}^{}:𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ and the orthogonal subcategory $𝒮={𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)}^{\perp }$. And we even showed that the inclusion $𝒮\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence...

Soient $k$ un anneau commutatif et $A$ une $k$-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie $H_2({𝔰l}_n\left(A\right),k)$ de la $k$-algèbre de Lie ${𝔰l}_n\left(A\right)$ des matrices de “trace nulle” sur $A$. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à ${\Omega }_{A/k}^1/dA$ lorsque $A$ est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de $k$-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des...