Extensions centrales d'algèbres de Lie

Christian Kassel; Jean-Louis Loday

Annales de l'institut Fourier (1982)

  • Volume: 32, Issue: 4, page 119-142
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Given a commutative ring and an associative -algebra , we compute the homology group of the -Lie algebra of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to when is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of -algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

How to cite

top

Kassel, Christian, and Loday, Jean-Louis. "Extensions centrales d'algèbres de Lie." Annales de l'institut Fourier 32.4 (1982): 119-142. <http://eudml.org/doc/74555>.

@article{Kassel1982,
abstract = {Soient $k$ un anneau commutatif et $A$ une $k$-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie $H_2(\{\frak sl\}_n(A),k)$ de la $k$-algèbre de Lie $\{\frak sl\}_n(A)$ des matrices de “trace nulle” sur $A$. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à $\Omega ^1_\{A/k\}/dA$ lorsque $A$ est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de $k$-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.},
author = {Kassel, Christian, Loday, Jean-Louis},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {homology group; Lie algebra of trace zero matrices; classification of central extensions; crossed modules},
language = {fre},
number = {4},
pages = {119-142},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Extensions centrales d'algèbres de Lie},
url = {http://eudml.org/doc/74555},
volume = {32},
year = {1982},
}

TY - JOUR
AU - Kassel, Christian
AU - Loday, Jean-Louis
TI - Extensions centrales d'algèbres de Lie
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1982
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 32
IS - 4
SP - 119
EP - 142
AB - Soient $k$ un anneau commutatif et $A$ une $k$-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie $H_2({\frak sl}_n(A),k)$ de la $k$-algèbre de Lie ${\frak sl}_n(A)$ des matrices de “trace nulle” sur $A$. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à $\Omega ^1_{A/k}/dA$ lorsque $A$ est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de $k$-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.
LA - fre
KW - homology group; Lie algebra of trace zero matrices; classification of central extensions; crossed modules
UR - http://eudml.org/doc/74555
ER -

References

top
  1. [1] S. BLOCH, The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lecture Notes in Math., n° 854 (1981), 1-23. Zbl0469.14009MR83b:17010
  2. [2] H. CARTAN and S. EILENBERG, Homological algebra, Princeton University Press (1956). Zbl0075.24305MR17,1040e
  3. [3] H. GARLAND, The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., n° 52 (1980), 5-136. Zbl0475.17004MR83a:20057
  4. [4] D. GUIN-WALERY et J.-L. LODAY, Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lect. Notes in Math., n° 854 (1981), 179-216. Zbl0461.18007MR82h:18009a
  5. [5] G. HOCHSCHILD, Lie algebra kernels and cohomology, Amer. J. Math., 76 (1954), 698-716. Zbl0055.26601MR16,109b
  6. [6] C. KASSEL, Homologie du groupe linéaire général et K-théorie stable, thèse, Université de Strasbourg, juin 1981. Zbl0445.20020
  7. [7] C. KASSEL, Calcul algébrique de l'homologie de certains groupes de matrices, J. of Algebra, 80, n° 1 (1983). Zbl0511.18014MR84m:18015
  8. [8] J.-L. LODAY, Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs, J. of Algebra, 54 (1978), 178-202. Zbl0391.20040MR80b:18013
  9. [9] J. MILNOR, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, n° 72, Princeton University Press (1971). Zbl0237.18005MR50 #2304
  10. [10] M. MORI, On the three dimensional cohomology group of Lie algebras, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 171-183. Zbl0051.02304MR15,282e

Citations in EuDML Documents

top
  1. Valiollah Khalili, Universal central extension of direct limits of Hom-Lie algebras
  2. F. J.-B. J. Clauwens, The -groups of -rings. Part I. Construction of the logarithmic invariant
  3. Pierre Cartier, Homologie cyclique : rapport sur des travaux récents de Connes, Karoubi, Loday, Quillen...
  4. Maria J. Vale, Torsors and special extensions
  5. Daniel Guin, Cohomologie des algèbres de Lie croisées et -théorie de Milnor additive
  6. Jean-Louis Loday, Comparaison des homologies du groupe linéaire et de son algèbre de Lie

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.