We give exhaustive list of biquadratic fields $K=\mathbb{Q}(i,\sqrt{m})$ and $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{m})$ without $2$-exotic symbol, i.e. for which the $2$-rank of the Hilbert kernel (or wild kernel) is zero. Such $K=\mathbb{Q}(i,\sqrt{m})$ are logarithmic principals [J3]. We detail an exemple of this technical numerical exploration and quote the family of theories and results we utilize. The $2$-rank of tame, regular and wild kernel of $K$-theory are connected with local and global problem of embedding in a $Z_2$-extension. Global class field theory can describe the $2$-rank of the Hilbert...

Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire $X_1\left(N\right)$. Ce résultat est la première étape d’un travail reliant, d’une part, la valeur en $2$ de la fonction $L$ d’une forme primitive de poids $2$, et d’autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l’esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où $N$ est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl...