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A ratio ergodic theorem for multiparameter non-singular actions

Michael Hochman (2010)

Journal of the European Mathematical Society

We prove a ratio ergodic theorem for non-singular free d and d actions, along balls in an arbitrary norm. Using a Chacon–Ornstein type lemma the proof is reduced to a statement about the amount of mass of a probability measure that can concentrate on (thickened) boundaries of balls in d . The proof relies on geometric properties of norms, including the Besicovitch covering lemma and the fact that boundaries of balls have lower dimension than the ambient space. We also show that for general group...

Averages of unitary representations and weak mixing of random walks

Michael Lin, Rainer Wittmann (1995)

Studia Mathematica

Let S be a locally compact (σ-compact) group or semigroup, and let T(t) be a continuous representation of S by contractions in a Banach space X. For a regular probability μ on S, we study the convergence of the powers of the μ-average Ux = ʃ T(t)xdμ(t). Our main results for random walks on a group G are: (i) The following are equivalent for an adapted regular probability on G: μ is strictly aperiodic; U n converges weakly for every continuous unitary representation of G; U is weakly mixing for any...

Capacités invariantes extrémales

Michel Talagrand (1978)

Annales de l'institut Fourier

On étudie certains cônes de mesures 0 sur un espace localement compact, qui sont invariantes par l’action continue d’un groupe localement compact G , cette étude étant centrée sur les génératrices extrémales de ces cônes. On dégage d’abord un type très simple d’action continue où l’on décrit complètement la situation. On dégage ensuite une classe d’actions (contenant par exemple l’action de shift de Bernoulli sur { 0 , 1 } N ) qui ne sont pas du type précédent, et que l’on étudie en grand détail. Le résultat...

Ergodicité et pureté des produits de Riesz

François Parreau (1990)

Annales de l'institut Fourier

On montre que les produits de Riesz sur le tore sont des mesures ergodiques sous une condition de lacunarité pour les fréquences, indépendamment de toute propriété arithmétique, et que cette condition est la meilleure possible de ce point de vue. On établit un critère analogue pour la propriété de pureté discutés précédemment par B. Host et l’auteur, ce qui fournit l’exemple d’une mesure pure étrangère à toutes ses translatées et en particulier non ergodique.

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