Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.

We consider three types of semilinear second order PDEs on a cylindrical domain $\Omega \times (0,\infty )$, where $\Omega$ is a bounded domain in ${ℝ}^N$, $N\ge 2$. Among these, two are evolution problems of parabolic and hyperbolic types, in which the unbounded direction of $\Omega \times (0,\infty )$ is reserved for time $t$, the third type is an elliptic equation with a singled out unbounded variable $t$. We discuss the asymptotic behavior, as $t\to \infty$, of solutions which are defined and bounded on $\Omega \times (0,\infty )$.