Nous étudions les domaines $\Omega$ de ${\mathbf{C}}^n$ qui satisfont (localement) à l’estimation suivante :$$\sum _{i,k=1}^n\parallel \frac{\partial u_j}{\partial {\bar{z}}_k}\parallel \le C(\parallel \bar{\partial }u\parallel +\parallel {\bar{\partial }}^{*}u\parallel +\parallel u\parallel ),\forall u\in {𝒟}^{0,1}(V\cap \bar{\Omega })$$où $V$ est un voisinage d’un point $z_0$ du bord $\partial \Omega$.L’intérêt de cette estimation réside dans son utilisation pour montrer une estimation sous-elliptique. Remarquons qu’elle est toujours satisfaite par les domaines pseudo-convexes, ce qui rend naturel le fait qu’elle soit liée au comportement dans $V$ des parties négatives des valeurs propres de la forme de Levi.

Let $X$ be a complex manifold, $S$ a generic submanifold of $X^{\mathbb{R}}$, the real underlying manifold to $X$. Let $\mathrm{\Omega }$ be an open subset of $S$ with $\partial \mathrm{\Omega }$ analytic, $Y$ a complexification of $S$. We first recall the notion of $\mathrm{\Omega }$-tuboid of $X$ and of $Y$ and then give a relation between; we then give the corresponding result in terms of microfunctions at the boundary. We relate the regularity at the boundary for ${\overline{\partial }}_b$ to the extendability of $CR$ functions on $\mathrm{\Omega }$ to $\mathrm{\Omega }$-tuboids of $X$. Next, if $X$ has complex dimension 2, we give results on extension...