We prove that there are only finitely many positive integers $m$ such that there is some integer $t$ such that $|n^2+n-m|$ is 1 or a prime for all $n\in [t+1,t+\sqrt{m}]$, thus solving a problem of Byeon and Stark.

Soit $\Gamma$ un sous-groupe de rang maximal d’un corps de nombres $𝐤$. On montre qu’une fonction entière, envoyant $\Gamma$ dans l’anneau des entiers d’une extension finie de $𝐤$, de croissance analytique et arithmétique faibles est un polynôme. Ce résultat étend un théorème bien connu de Pólya. On montre également que ce résultat est à constante près optimal.

We estimate the maximum of ${\prod }_{j=1}^n|1-x^{a_j}|$ on the unit circle where 1 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... is a sequence of integers. We show that when $a_j$ is $j^k$ or when $a_j$ is a quadratic in j that takes on positive integer values, the maximum grows as exp(cn), where c is a positive constant. This complements results of Sudler and Wright that show exponential growth when $a_j$ is j.    In contrast we show, under fairly general conditions, that the maximum is less than $2^n/n^r$, where r is an arbitrary positive number. One consequence is that the...

Let $\alpha$ be a zero of a polynomial of degree $n$ with odd coefficients, with $\alpha$ not a root of unity. We show that the height of $\alpha$ satisfies$$h\left(\alpha \right)\ge \frac{0.4278}{n+1}.$$More generally, we obtain bounds when the coefficients are all congruent to $1$ modulo $m$ for some $m\ge 2$.

Soient $A,B,C=A+B$ trois éléments de l’ensemble ${\mathbb{N}}^{*}$ des entiers > $0$ (resp. $ℂ\left[X\right]$) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note $r\left(ABC\right)$ le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans $ℂ\left[X\right]$) du produit $ABC$. La conjecture $\left(abc\right)$ énonce que, pour tout $ϵ\>0$, il existe $C_{ϵ}\>0$ pour lequel l’inégalité : $r\left(ABC\right)\ge C_{ϵ}{S}^{1-ϵ}$ avec $S=$ max$(A,B,C)$) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, $D$ (supposé > $0$) désignant le plus grand des degrés des polynômes $A,B,C:r\left(ABC\right)\ge D+1$. Les cas de triplets de polynômes où l’égalité...

We compare several different concepts of integer-valued polynomials on algebras and collect the few results and many open questions to be found in the literature.

It is known that two consecutive coefficients of a ternary cyclotomic polynomial ${\Phi }_{pqr}\left(x\right)={\sum }_k{a}_{pqr}\left(k\right)x^k$ differ by at most one. We characterize all k such that $|a_{pqr}\left(k\right)-a_{pqr}(k-1)|=1$. We use this to prove that the number of nonzero coefficients of the nth ternary cyclotomic polynomial is greater than $n^{1/3}$.

Nous nous intéressons à la question suivante : À quelles conditions un groupe $G$ est-il le groupe de Galois (principalement sur le corps des rationnels) d’un polynôme irréductible dont certaines racines distinctes vérifient une relation linéaire du type $a=b+c+\cdots +t$ ? Nous montrons que la relation $a=b+c$ est possible dès que $G$ contient un sous-groupe d’ordre $6$, nous décrivons les groupes abéliens pour lesquels la relation $a=b+c+d$ est satisfaite et construisons une famille de relations $a=b+c+\cdots +t$ de longueur $1+(m-2)(m-3)/2$ pour le groupe alterné...