Singular codimension one foliations, Galois groupoid and first integrals

Guy Casale[1]

  • [1] Université Paul Sabatier Laboratoire Émile Picard UMR 5580 – UFR MIG 118, route de Narbonne 31062 Toulouse (France)

Annales de l’institut Fourier (2006)

  • Volume: 56, Issue: 3, page 735-779
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this article the Galois groupoid of a germ of codimension one holomorphic foliation is investigated. We define a bimeromorphic invariant of this Lie -groupoid: the transversal rank. Relations between this invariant, existence of special Godbillon-Vey sequences and existence of first integral in a strongly normal extension of the differential field of germs of meromorphic functions are studied. A theorem of M. Singer on Liouvillian first integral is generalized to a larger class of transcendental functions. For reduced singularities, the transversal rank is characterized by Martinet-Ramis invariants and it gives a galoisian proof of results of Berthier-Touzet.

How to cite

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Casale, Guy. "Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières." Annales de l’institut Fourier 56.3 (2006): 735-779. <http://eudml.org/doc/10162>.

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abstract = {Dans cet article, nous étudions le groupoïde de Galois d’un germe de feuilletage holomorphe de codimension un. Nous associons à ce $\mathcal\{D\}$-groupoïde de Lie un invariant biméromorphe  : le rang transverse. Nous étudions en détails les relations entre cet invariant, l’existence de suites de Godbillon-Vey particulières et l’existence d’une intégrale première dans une extension fortement normale du corps différentiel des germes de fonctions méromorphes. Nous obtenons ainsi une généralisation d’un théorème de M. Singer sur l’existence d’intégrales premières Liouvilliennes à une classe plus large de transcendantes. L’étude des singularités réduites permet de caractériser le rang transverse sur les invariants de Martinet-Ramis et donne une preuve galoisienne des résultats de Berthier-Touzet.},
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References

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  1. M. Berthier, F. Touzet, Sur l’intégration des équations différentielles holomorphes réduites en dimension 2, Boletim da Soc. Bra. Mat. 30 (1999), 247-286 Zbl0969.34074MR1726913
  2. A. Buium, Differential function fields and moduli of algebraic varieties, 1226 (1986), Springer-Verlag Zbl0613.12018MR874111
  3. A. Buium, Differential algebra and diophantine geometry, (1994), Hermann Zbl0870.12007MR1487891
  4. G. Casale, Suites de Godbillon-Vey et intégrales premières, C. R. Acad. Sci. Paris 335 (2002), 1003-1006 Zbl1033.12004MR1955577
  5. G. Casale, -enveloppe d’un difféomorphisme de , Proceedings of the conference « Resurgence, Alien Calculus, Resummability, Transseries » 13 (2004), Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. Zbl1084.37036
  6. D. Cerveau, A. Lins Neto, F. Loray, J.-V. Pereira, F. Touzet, Algebraic Reduction Theorem for complex codimension one singular foliations Zbl1095.37019
  7. J. Drach, Éssai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. (3) (1898), 243-384 Zbl29.0244.02MR1508959
  8. J. Drach, Sur le problème logique de l’intégration des équations différentielles, Ann. Fac. Sci. de l’Université de Toulouse 10 (1908), 393-472 Zbl41.0416.03MR1508305
  9. S. Dumitrescu, Structures géométriques holomorphes sur les variétés complexes compactes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. 4e série 34 (2001), 557-571 Zbl1016.32012MR1852010
  10. J. Écalle, Les fonctions résurgentes, 1 et 2 (1981), Publication mathématiques d’Orsay Zbl0602.30029
  11. D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Text in Mathematics 150 (1995), Springer-Verlag Zbl0819.13001MR1322960
  12. J. Frisch, Points de platitude d’un morphisme d’espaces analytiques complexes, Invent. Math. 4 (1967), 118-138 Zbl0167.06803MR222336
  13. C. Godbillon, Feuilletage. Études géométriques, 98 (1991) Zbl0724.58002MR1120547
  14. C. Godbillon, J. Vey, Un invariant des feuilletages de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris 273 (1971), A92-A95 Zbl0215.24604MR283816
  15. M. Gromov, Rigid transformation groups, 33 (1988), Hermann Zbl0652.53023
  16. Y. S. Ilyashenko, Divergence of series that reduce an analytic differential equation to linear normal form at a singular point, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 13 (1979), 87-88 Zbl0477.34004MR545377
  17. E. R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 54 (1973), Academic Press Zbl0264.12102MR568864
  18. J. J. Kovacic, The differential Galois theory of strongly normal extensions, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 4475-4522 Zbl1036.12005MR1990759
  19. A. Kumpera, D. Spencer, Lie Equations, (1972), Princeton University Press, Princeton, N.J. Zbl0258.58015MR380908
  20. B. Malgrange, Travaux d’Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Bourbaki Seminar, Vol. 1981/1982 92 (1982), Soc. Math. France, Paris Zbl0526.58009MR689526
  21. B. Malgrange, L’involutivité générique des systèmes différentiels analytiques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), 863-866 Zbl0924.58116MR1648544
  22. B. Malgrange, Germes de -groupoïdes en dimension un, (2000) 
  23. B. Malgrange, Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics, Vol. 1, 2 38 (2001), 465-501, Enseignement Math., Geneva Zbl1033.32020
  24. B. Malgrange, On nonlinear differential Galois theory, Chinese Ann. Math. Ser. B 23 (2002), 219-226 Zbl1009.12005MR1924138
  25. B. Malgrange, Systèmes différentiels involutifs, Panoramas et Synthèses 19 (2005), Soc. Math. France Zbl1090.35003MR2187078
  26. J. Martinet, J.-P. Ramis, Problèmes de modules pour les équations différentielles non linéaires du premier ordre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 55 (1982), 63-164 Zbl0546.58038MR672182
  27. J. Martinet, J.-P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre., Ann. Sci. École Normale Sup. 16 (1983), 571-621 Zbl0534.34011MR740592
  28. B. A. Scàrdua, Transversely affine and transversely projective holomorphic foliations, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 30 (1997), 169-204 Zbl0889.32031MR1432053
  29. A. Seidenberg, Reduction of singularities of the differential equation , Amer. J. Math. 90 (1968), 248-269 Zbl0159.33303MR220710
  30. M. Singer, Liouvillian first integral of differential equations, Trans. A. M. S. 333 (1992), 673-688 Zbl0756.12006MR1062869
  31. J.-C. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, 71 (1972), Springer-Verlag, Berlin Zbl0251.58001MR440598
  32. F. Touzet, Sur les feuilletages holomorphes transversalement projectifs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 53 (2003), 815-846 Zbl1032.32020MR2008442
  33. E. Vessiot, Sur une théorie générale de la réductibilité des équations et systèmes d’équations finies ou différentielles, Ann. Sci. École Normale Sup. 63 (1946), 1-22 Zbl0061.16703MR20696
  34. E. Vessiot, Sur la réductibilité des équations aux dérivées partielles du ordre, à une inconnue, qui ne la contiennent pas et sont linéaires et homogènes par rapport à ses dérivées, Bull. Soc. Math. France 75 (1947), 9-26 Zbl0034.20002MR23423

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