Hilbert geometries have bounded local geometry

Bruno Colbois[1]; Constantin Vernicos[1]

  • [1] Institut de mathématique Université de Neuchâtel Rue Émile Argand 11 Case postale 158 2009 Neuchâtel (Switzerland)

Annales de l’institut Fourier (2007)

  • Volume: 57, Issue: 4, page 1359-1375
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in ℝ n has bounded local geometry, i.e., for a given radius, all balls are bilipschitz to a euclidean domain of ℝ n . As a consequence, if the Hilbert geometry is also Gromov hyperbolic, then the bottom of its spectrum is strictly positive. We also give a counter exemple in dimension three wich shows that the reciprocal is not true for non plane Hilbert geometries.

How to cite

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Colbois, Bruno, and Vernicos, Constantin. "Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée." Annales de l’institut Fourier 57.4 (2007): 1359-1375. <http://eudml.org/doc/10261>.

@article{Colbois2007,
abstract = {On montre que la géométrie de Hilbert d’un domaine convexe de $\{\mathbb\{R\}\}^n$ est à géométrie locale bornée c-à-d que pour un rayon fixé, toutes les boules sont bilipschitz à un domaine de $\{\mathbb\{R\}\}^n$ euclidien. On en déduit que si la géométrie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la réciproque n’est pas vraie pour les géométries de Hilbert non planes.},
affiliation = {Institut de mathématique Université de Neuchâtel Rue Émile Argand 11 Case postale 158 2009 Neuchâtel (Switzerland); Institut de mathématique Université de Neuchâtel Rue Émile Argand 11 Case postale 158 2009 Neuchâtel (Switzerland)},
author = {Colbois, Bruno, Vernicos, Constantin},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Hilbert Geometries; hyperbolicity; bottom of the spectrum; local geometry},
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publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée},
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volume = {57},
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TY - JOUR
AU - Colbois, Bruno
AU - Vernicos, Constantin
TI - Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2007
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 57
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LA - fre
KW - Hilbert Geometries; hyperbolicity; bottom of the spectrum; local geometry
UR - http://eudml.org/doc/10261
ER -

References

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  1. M. Bonk, O. Schramm, Embeddings of Gromov hyperbolic spaces, Geom. Funct. Anal. 10 (2000), 266-306 Zbl0972.53021MR1771428
  2. D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov, A course in metric geometry, 33 (2001), American Mathematical Society, Providence, RI Zbl0981.51016MR1835418
  3. J. Cao, Cheeger isoperimetric constants of Gromov-hyperbolic spaces with quasi-poles, Commun. Contemp. Math. 2 (2000), 511-533 Zbl0981.53021MR1806945
  4. B. Colbois, C. Vernicos, Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane, Bulletin de la Société Mathématique de France 1 (2006) Zbl1117.53034MR2245997
  5. U. Lang, C. Plaut, Bilipschitz embeddings of metric spaces into space forms, Geom. Dedicata 87 (2001), 285-307 Zbl1024.54013MR1866853
  6. E. Socié-Méthou, Comportements asymptotiques et rigidités en géométries de Hilbert, (2000) 

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