Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G={\mathrm{Gal}}_k\left(f\right)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable. En appendice, Joseph...

Soit $\theta$ un nombre réel, avec $\theta \>1,$ et soit $A_{\left[\theta \right]}$ l’ensemble des nombres $P\left(\theta \right)$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans $\{0,1,...,[\theta \left]\right\}.$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $\theta$ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_{\left[\theta \right]}\cup (-A_{\left[\theta \right]})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $\epsilon \in ]0,1],$ les $\epsilon$-nombres de Pisot...

Etant donnés $A_1,\cdots ,A_s$ ($s\ge 3$) des $S{L}_2\left(ℂ\right)$-modules non triviaux de dimensions respectives $n_1+1\ge \cdots \ge n_s+1$ (avec $n_1=n_2+\cdots +n_s$) et $\phi \in ℒ(A_2\otimes \cdots \otimes A_s,A_1^{*})$ un $S{L}_2\left(ℂ\right)$-homomorphisme, nous montrons que l’hyperdéterminant de $\phi$ est nul sauf si les modules $A_i$ sont irréductibles et si l’homomorphisme est la multiplication des polynômes homogènes à deux variables.

L’objet de cet article est d’obtenir une formule pour la fonction zêta des hauteurs classique à partir de la fonction zêta des hauteurs multiple de La Bretèche, et d’utiliser cette formule pour prolonger de manière méromorphe la fonction zêta des hauteurs. En particulier, il est montré que celle-ci peut être prolongée au demi-plan $\{s\in ℂ:\Re es\>\frac{3}{4}\}$ et que la frontière naturelle de son domaine naturel de méromorphie est $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

Soit $A$ un anneau Notherien, local, Henselien, excellent, de corps résiduel $k$, $k$ étant ou algébriquement clos de caractéristique 0 ou un corps fini, $X\to SpecA$ un morphisme propre dont la fibre spéciale $X_0\to SpecA$ est de dimension au plus 1. Dans ce papier, nous complètons les résultats de [1] en montrant que si $X$ est régulier et si $L$ est un $X_{et}$-lien localement représentable par un groupe semi-simple simplement connexe, alors toutes les classes de $H^2(X_{et},L)$ sont neutres. Prenant pour $X$ un modèle régulier de $A$, nous...