Partitions sans petites parts (II)

Élie Mosaki[1]

  • [1] Université de Lyon ; Université Lyon 1 ; INSA de Lyon F-69621 ; Ecole Centrale de Lyon ; CNRS, UMR 5208, Institut Camille Jordan, 43 blvd du 11 novembre, F-69622 Villeurbanne-Cedex, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2008)

  • Volume: 20, Issue: 2, page 431-464
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let r ( n , m ) denote the number of partitions of n into parts, each of which is at least m , and R ( n , m ) = r ( n - m , m ) the number of partitions of n with smallest part m . In a precedent paper (see [9]) the asymptotics for r ( n , m ) is obtained uniformly for 1 ≤ m = O ( n ) ; we complete this asymptotics uniformly for 1 ≤ m = ( n log - 3 n ) . To prolong the results until m ≤ n , we give an estimate for r ( n , m ) which holds for n 2 / 3 ≤ m ≤ n , by use of the relation r ( n , m ) = ∑ t = 1 ⌊ n / m ⌋ P ( n - ( m - 1 ) t , t ) , P ( i , t ) denoting the number of partitions of i into exactly t parts. We also give an elementary combinatorial proof for the decrease of R ( n , m ) in terms of m , m ≤ n - 1 .

How to cite

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Mosaki, Élie. "Partitions sans petites parts (II)." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 20.2 (2008): 431-464. <http://eudml.org/doc/10845>.

@article{Mosaki2008,
abstract = {On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$, et $R(n,m)= r(n-m,m)$ le nombre de partitions de $n$ de plus petite part $m$. Dans un précédent article (voir [9]) un développement asymptotique de $r(n,m)$ est obtenu uniformément pour $1\le m=O(\sqrt\{n\})$ ; on complète ce développement uniformément pour $1\le m=(n\log ^\{-3\}n)$. Afin de prolonger les résultats jusqu’à $m\le n$, on donne un encadrement de $r(n,m)$ valable pour $n^\{2/3\}\le m\le n$ en utilisant la relation $r(n,m)=\sum _\{t=1\}^\{\lfloor n/m\rfloor \}P(n-(m-1)t,t)$ où $P(i,t)$ désigne le nombre de partitions de $i$ en exactement $t$ parts. On donne aussi une preuve combinatoire élémentaire de la décroissance en $m$, $m\le n-1$, de $R(n,m)$.},
affiliation = {Université de Lyon ; Université Lyon 1 ; INSA de Lyon F-69621 ; Ecole Centrale de Lyon ; CNRS, UMR 5208, Institut Camille Jordan, 43 blvd du 11 novembre, F-69622 Villeurbanne-Cedex, France},
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References

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