Meromorphic solutions over ℂ of a system of difference equations with constant coefficients and two recurrent steps

Jean-Claude Jolly[1]

  • [1] Université d'Angers, ISTIA, 62 avenue Notre-Dame du Lac, 49000 Angers (France)

Annales de l’institut Fourier (2002)

  • Volume: 52, Issue: 2, page 585-622
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We are interested in meromorphic solutions over ℂ of a system of two difference equations with constant coefficients and two recurrent steps. When one varies this system, solutions describe a certain algebra 𝒟 [ s , t ] in relation to usual elliptic functions and those of Hermite’s second sort, as well as Jacobi’s Z function. For a given system, the solutions form over the field of elliptic functions a vector space of finite dimension, in keeping with orders of the two plane algebraic curves resulting from the system. Entire solutions are determined; they form a vector space over ℂ of dimension less than or equal to the previous one.

How to cite

top

Jolly, Jean-Claude. "Solutions méromorphes sur ${\mathbb {C}}$ d’un système d’équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents." Annales de l’institut Fourier 52.2 (2002): 585-622. <http://eudml.org/doc/115988>.

@article{Jolly2002,
abstract = {On s’intéresse aux solutions méromorphes sur $\{\mathbb \{C\}\}$ d’un système de deux équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents. Lorsqu’on fait varier ce système, les solutions décrivent une certaine algèbre $\{\mathcal \{D\}\}[s,t]$ en rapport avec les fonctions elliptiques habituelles et celles de deuxième espèce de Hermite, ainsi que la fonction $Z$ de Jacobi. Pour un système donné, les solutions trouvées forment sur le corps des fonctions elliptiques un espace vectoriel de dimension finie, en rapport avec les ordres des deux courbes algébriques planes issues du système. On détermine celles de ces solutions qui sont entières; elles forment un espace vectoriel sur $\{\mathbb \{C\}\}$ de dimension inférieure ou égale à la précédente.},
affiliation = {Université d'Angers, ISTIA, 62 avenue Notre-Dame du Lac, 49000 Angers (France)},
author = {Jolly, Jean-Claude},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {meromorphic functions; elliptic functions; entire functions; exponential polynomials; difference equations; difference operators; commutative algebra},
language = {fre},
number = {2},
pages = {585-622},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Solutions méromorphes sur $\{\mathbb \{C\}\}$ d’un système d’équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents},
url = {http://eudml.org/doc/115988},
volume = {52},
year = {2002},
}

TY - JOUR
AU - Jolly, Jean-Claude
TI - Solutions méromorphes sur ${\mathbb {C}}$ d’un système d’équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2002
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 52
IS - 2
SP - 585
EP - 622
AB - On s’intéresse aux solutions méromorphes sur ${\mathbb {C}}$ d’un système de deux équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents. Lorsqu’on fait varier ce système, les solutions décrivent une certaine algèbre ${\mathcal {D}}[s,t]$ en rapport avec les fonctions elliptiques habituelles et celles de deuxième espèce de Hermite, ainsi que la fonction $Z$ de Jacobi. Pour un système donné, les solutions trouvées forment sur le corps des fonctions elliptiques un espace vectoriel de dimension finie, en rapport avec les ordres des deux courbes algébriques planes issues du système. On détermine celles de ces solutions qui sont entières; elles forment un espace vectoriel sur ${\mathbb {C}}$ de dimension inférieure ou égale à la précédente.
LA - fre
KW - meromorphic functions; elliptic functions; entire functions; exponential polynomials; difference equations; difference operators; commutative algebra
UR - http://eudml.org/doc/115988
ER -

References

top
  1. P. Appell, E. Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, (1897), 25-30-35-325-350, Gauthier-Villars, Paris Zbl28.0382.04
  2. J.-P. Bézivin, communication privée, (1999) 
  3. J.-P. Bézivin, F. Gramain, Solutions entières d'un système d'équations aux différences, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 43 (1993), 791-814 Zbl0796.39006MR1242616
  4. J.-P. Bézivin, F. Gramain, Solutions entières d'un système d'équations aux différences, II, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 46 (1996), 465-491 Zbl0853.39001MR1393522
  5. N. Brisebarre, L. Habsieger, Sur les fonctions entières à double pas récurrent, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 49 (1999), 653-671 Zbl0927.39004MR1697375
  6. F. Gramain, Équations aux différences et polynômes exponentiels, C.R. Acad. Sciences, Paris 313 (1991), 131-134 Zbl0736.30020MR1121574
  7. A.O. Guelfond, Calcul des différences finies (théorème VI et remarque), (1963), 365-367, Dunod, Paris Zbl0108.27503
  8. C. Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, (1885), Gauthier-Villars, Paris 
  9. E.L. Ince, Ordinary differential equations, (1956), Dover Publications Inc Zbl0063.02971
  10. J.-C. Jolly, Solutions méromorphes sur ℂ des systèmes d’au moins deux équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents (première partie), (2001) 
  11. N. Marteau, Équations aux différences et fonctions représentatives, (1999) 
  12. N. Marteau, Sur les équations aux différences en une variable, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50 (2000), 1589-1615 Zbl0960.39002MR1800128
  13. S. Saks, A. Zygmund, Fonctions analytiques, (1970), Masson, Paris Zbl0199.12601
  14. M.-P. Malliavin, Algèbre commutative, applications en géométrie et théorie des nombres (cor. 4.4), (1985), Masson, Paris Zbl0584.13001
  15. J.-C. Jolly, Solutions à ε près de systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires de type mixte posés sur des ouverts non bornés (deuxième partie), (2001) Zbl1066.35063

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.