Singularities and integrability of plurisubharmonic functions

Mongi Blel[1]; Saoud K. Mimouni

  • [1] Faculté des Sciences de Monastir, département de mathématiques, 5019 Monastir (TUNISIE)

Annales de l’institut Fourier (2005)

  • Volume: 55, Issue: 2, page 319-351
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
The goal of the present work is to study the singularities of a class of plurisubharmonic functions on complex manifolds X of dimension n 1 . In order to study this problem one starts by controlling the Lelong numbers of certain of plurisubharmonic functions ϕ . Then we study the singularities of the strict transform of the current d d c ϕ by the blow-ups of X at a point. Using this we positively answer the question of the local integrability of e - ϕ , when dim X = 2 and ϕ is a plurisubharmonic function with ϕ L loc ( X K ) , and K is a compact of X , and the situation where the sublevel sets E c ( ϕ ) = { x X ; ν ϕ ( x ) c } is discrete for all c > 0 and ν ϕ ( x ) 2 for all x X .

How to cite

top

Blel, Mongi, and K. Mimouni, Saoud. "Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques." Annales de l’institut Fourier 55.2 (2005): 319-351. <http://eudml.org/doc/116193>.

@article{Blel2005,
abstract = {On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n\ge 1$. Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $\varphi $. Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $dd^c\varphi $ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de $\{\rm e\}^\{- \varphi \}$, lorsque $\{\rm dim\}X=2$, et lorsque $\varphi $ est une fonction plurisousharmonique telle que $\varphi \in \{\rm L\}^\{\infty \}_\{\rm loc\}(X\setminus K)$, avec $K$ compact de $X$ et lorsque $E_c(\varphi )=\lbrace x\in X;\ \nu _\{\varphi \}(x)\ge c\rbrace $ est discret pour tout $c&gt;0$, et $\nu _\{\varphi \}(x)\le 2$ pour tout $x$ de $X$.},
affiliation = {Faculté des Sciences de Monastir, département de mathématiques, 5019 Monastir (TUNISIE)},
author = {Blel, Mongi, K. Mimouni, Saoud},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {plurisubharmonic functions; positive currents; analytic sets; exponants of singularities},
language = {fre},
number = {2},
pages = {319-351},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques},
url = {http://eudml.org/doc/116193},
volume = {55},
year = {2005},
}

TY - JOUR
AU - Blel, Mongi
AU - K. Mimouni, Saoud
TI - Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2005
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 55
IS - 2
SP - 319
EP - 351
AB - On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n\ge 1$. Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $\varphi $. Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $dd^c\varphi $ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de ${\rm e}^{- \varphi }$, lorsque ${\rm dim}X=2$, et lorsque $\varphi $ est une fonction plurisousharmonique telle que $\varphi \in {\rm L}^{\infty }_{\rm loc}(X\setminus K)$, avec $K$ compact de $X$ et lorsque $E_c(\varphi )=\lbrace x\in X;\ \nu _{\varphi }(x)\ge c\rbrace $ est discret pour tout $c&gt;0$, et $\nu _{\varphi }(x)\le 2$ pour tout $x$ de $X$.
LA - fre
KW - plurisubharmonic functions; positive currents; analytic sets; exponants of singularities
UR - http://eudml.org/doc/116193
ER -

References

top
  1. L. Abrahamsson, Microlocal Lelong numbers of plurisubharmonic functions, J.Reine Angew. Math. 388 (1988), 116-128 Zbl0641.31005MR944186
  2. E. Bedfort, et B.A. Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta. Math. 149 (1982), 1-40 Zbl0547.32012MR674165
  3. M. Blel, Fonctions plurisousharmoniques et idéal définissant un ensemble analytique, Lect. notes (1980-1981), 26-55, Springer-Verlag Zbl0546.32006
  4. E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math. 10 (1970), 267-287 Zbl0214.33702MR306201
  5. J-P. Demailly, Sur les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 32 (1982), 37-66 Zbl0457.32005MR662440
  6. J-P. Demailly, Regularization of closed positive currents and Intersection Theory, J. Alg. Geom. 1 (1992), 361-409 Zbl0777.32016MR1158622
  7. J-P. Demailly, Monge-Ampère operators, Lelong numbers and Intersection Theory, (1993), Plenum Press, New-York Zbl0792.32006
  8. J-P. Demailly, A numerical criterion for very ample line bundles, J. Differential Geom. 37 (1993), 323-374 Zbl0783.32013MR1205448
  9. J-P. Demailly, J. Kollár, Semi-continuity of complex singularity exponents and Kähler-Einstein metrics on Fano orbifolds, (1999) Zbl0994.32021
  10. J-P. Demailly, Algebraic geometry, (2000), (Livre publié sur internet ) 
  11. S. Giret, Sur le tranchage et le prolongement de courants, (1998) 
  12. P.A. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, (1978), John Wiley & Sons Zbl0408.14001
  13. C.O. Kiselman, Densité des fonctions plurisousharmoniques, 107 (1979), 295-304 Zbl0416.32007
  14. C.O. Kiselman, The growth of restrictions of plurisuharmonic functions, 7B (1981), 435-454, Advances in Mathematics Supplementary Studies Zbl0492.32015
  15. C.O. Kiselman, Stabilité du nombre de Lelong par restriction à une sous-variété, 919 (1982), 324-336, Berlin-Heidelberg-New York Zbl0492.32016
  16. C.O. Kiselman, Plurisubharmonic functions and their singularities, (1993) Zbl0810.31007MR1332964
  17. P. Lelong, Sur la structure des courants positifs fermés, 578 (1975-1976), 136-156, Séminaire Pierre Lelong Zbl0354.32014
  18. Y.T. Siu, Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27 (1974), 53-156 Zbl0289.32003MR352516
  19. H. Skoda, Sous-ensembles analytiques d’ordre fini ou infini dans n , Bull. Soc. Math. France 100 (1972), 353-408 Zbl0246.32009MR352517

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.