Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini

Mireille Car

Acta Arithmetica (1995)

  • Volume: 69, Issue: 3, page 229-242
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

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Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit q le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l’arithmétique de l’anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l’anneau q [ T ] a conduit à étendre à q [ T ] de nombreuses questions de l’arithmétique classique. L’équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps q ( ( T - 1 ) ) des séries de Laurent formelles, complété du corps q ( T ) des fractions rationnelles pour la valuation à l’infini et l’intervalle [0,1[ est remplacé par l’idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l’équirépartition modulo 1 dans le corps q ( ( T - 1 ) ) qui s’est révélée fructueuse puisqu’elle permet l’utilisation d’un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l’équirépartition modulo 1 de la suite ( H 1 / 2 ) , H décrivant la suite des polynômes de q [ T ] admettant une racine carrée H 1 / 2 dans le corps q ( ( T - 1 ) ) , et, plus généralement, celle de la suite ( H 1 / l ) , H décrivant la suite des polynômes de q [ T ] admettant une racine l-ième H 1 / l dans le corps q ( ( T - 1 ) ) . C’est ce qui est fait dans ce qui suit, où l’on précise ce que l’on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite ( H 1 / l ) est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite ( P 1 / l ) est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de q [ T ] admettant une racine l-ième dans le corps q ( ( T - 1 ) ) .

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Mireille Car. "Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini." Acta Arithmetica 69.3 (1995): 229-242. <http://eudml.org/doc/206685>.

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References

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