@article{MireilleCar1995,
abstract = {Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit $_q$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l’arithmétique de l’anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l’anneau $_q[T]$ a conduit à étendre à $_q[T]$ de nombreuses questions de l’arithmétique classique. L’équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps $_q((T^\{-1\}))$ des séries de Laurent formelles, complété du corps $_q(T)$ des fractions rationnelles pour la valuation à l’infini et l’intervalle [0,1[ est remplacé par l’idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l’équirépartition modulo 1 dans le corps $_q((T^\{-1\}))$ qui s’est révélée fructueuse puisqu’elle permet l’utilisation d’un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l’équirépartition modulo 1 de la suite $(H^\{1/2\})$, H décrivant la suite des polynômes de $_q[T]$ admettant une racine carrée $H^\{1/2\}$ dans le corps $_q((T^\{-1\}))$, et, plus généralement, celle de la suite $(H^\{1/l\})$, H décrivant la suite des polynômes de $_q[T]$ admettant une racine l-ième $H^\{1/l\}$ dans le corps $_q((T^\{-1\}))$. C’est ce qui est fait dans ce qui suit, où l’on précise ce que l’on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite $(H^\{1/l\})$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite $(P^\{1/l\})$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de $_q[T]$ admettant une racine l-ième dans le corps $_q((T^\{-1\}))$.},
author = {Mireille Car},
journal = {Acta Arithmetica},
keywords = {uniform distribution; polynomials; finite fields; Weyl criterion; field of formal Laurent series; valuation},
language = {fre},
number = {3},
pages = {229-242},
title = {Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini},
url = {http://eudml.org/doc/206685},
volume = {69},
year = {1995},
}
TY - JOUR
AU - Mireille Car
TI - Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini
JO - Acta Arithmetica
PY - 1995
VL - 69
IS - 3
SP - 229
EP - 242
AB - Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit $_q$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l’arithmétique de l’anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l’anneau $_q[T]$ a conduit à étendre à $_q[T]$ de nombreuses questions de l’arithmétique classique. L’équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps $_q((T^{-1}))$ des séries de Laurent formelles, complété du corps $_q(T)$ des fractions rationnelles pour la valuation à l’infini et l’intervalle [0,1[ est remplacé par l’idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l’équirépartition modulo 1 dans le corps $_q((T^{-1}))$ qui s’est révélée fructueuse puisqu’elle permet l’utilisation d’un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l’équirépartition modulo 1 de la suite $(H^{1/2})$, H décrivant la suite des polynômes de $_q[T]$ admettant une racine carrée $H^{1/2}$ dans le corps $_q((T^{-1}))$, et, plus généralement, celle de la suite $(H^{1/l})$, H décrivant la suite des polynômes de $_q[T]$ admettant une racine l-ième $H^{1/l}$ dans le corps $_q((T^{-1}))$. C’est ce qui est fait dans ce qui suit, où l’on précise ce que l’on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite $(H^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite $(P^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de $_q[T]$ admettant une racine l-ième dans le corps $_q((T^{-1}))$.
LA - fre
KW - uniform distribution; polynomials; finite fields; Weyl criterion; field of formal Laurent series; valuation
UR - http://eudml.org/doc/206685
ER -
