Direct images I: Rigid analytic spaces and direct images

Jean-Yves Etesse[1]

  • [1] CNRS - IRMAR Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 RENNES Cedex France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2012)

  • Volume: 24, Issue: 1, page 101-151
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

top
This article is the first one of a series of three articles devoted to direct images of isocrystals: here we consider isocrystals without Frobenius structure; in the second one [Et 6] (resp. the third one [Et 7]), we will introduce a Frobenius structure in the convergent (resp. overconvergent) context.For a liftable proper smooth morphism we establish the overconvergence of direct images, owing to a base change theorem for a proper morphism between rigid analytic spaces. This result partially answers a conjecture of Berthelot on the overconvergence of direct images under a proper smooth morphism.

How to cite

top

Etesse, Jean-Yves. "Images directes I : Espaces rigides analytiques et images directes." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 24.1 (2012): 101-151. <http://eudml.org/doc/251047>.

@article{Etesse2012,
abstract = {Cet article est le premier d’une série de trois articles consacrés aux images directes d’isocristaux : ici nous considérons des isocristaux sans structure de Frobenius ; dans le deuxième [Et 6] (resp. le troisième [Et 7]), nous introduirons une structure de Frobenius dans le contexte convergent (resp. surconvergent).Pour un morphisme propre et lisse relevable nous établissons la surconvergence des images directes, grâce à un théorème de changement de base pour un morphisme propre entre espaces rigides analytiques. Ce résultat répond partiellement à une conjecture de Berthelot sur la surconvergence des images directes par un morphisme propre et lisse.},
affiliation = {CNRS - IRMAR Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 RENNES Cedex France},
author = {Etesse, Jean-Yves},
journal = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux},
keywords = {algèbres de Monsky-Washnitzer; schémas formels; espaces rigides analytiques; théorème de changement de base propre; cohomologie rigide; isocristaux surconvergents; rigid analytic spaces; formals schemes; overconvergent isocrystals; proper base change; rigid cohomology},
language = {fre},
month = {3},
number = {1},
pages = {101-151},
publisher = {Société Arithmétique de Bordeaux},
title = {Images directes I : Espaces rigides analytiques et images directes},
url = {http://eudml.org/doc/251047},
volume = {24},
year = {2012},
}

TY - JOUR
AU - Etesse, Jean-Yves
TI - Images directes I : Espaces rigides analytiques et images directes
JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
DA - 2012/3//
PB - Société Arithmétique de Bordeaux
VL - 24
IS - 1
SP - 101
EP - 151
AB - Cet article est le premier d’une série de trois articles consacrés aux images directes d’isocristaux : ici nous considérons des isocristaux sans structure de Frobenius ; dans le deuxième [Et 6] (resp. le troisième [Et 7]), nous introduirons une structure de Frobenius dans le contexte convergent (resp. surconvergent).Pour un morphisme propre et lisse relevable nous établissons la surconvergence des images directes, grâce à un théorème de changement de base pour un morphisme propre entre espaces rigides analytiques. Ce résultat répond partiellement à une conjecture de Berthelot sur la surconvergence des images directes par un morphisme propre et lisse.
LA - fre
KW - algèbres de Monsky-Washnitzer; schémas formels; espaces rigides analytiques; théorème de changement de base propre; cohomologie rigide; isocristaux surconvergents; rigid analytic spaces; formals schemes; overconvergent isocrystals; proper base change; rigid cohomology
UR - http://eudml.org/doc/251047
ER -

References

top
  1. P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p &gt; 0 . Lecture Notes in Math. 407, Springer, 1974. Zbl0298.14012MR384804
  2. P. Berthelot, Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p . Bulletin de la SMF, mémoire n ∘ 23 (1986), 7–32. Zbl0606.14017MR865810
  3. P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres. Prépublication 96-03 de Rennes, 1996. 
  4. P. Berthelot, Finitude et pureté cohomologique en cohomologie rigide. Invent. Math. 128 (1997), 329–377. Zbl0908.14005MR1440308
  5. P. Berthelot, Cohomologie rigide § 3. Préprint (14/09/89) non publié. Zbl0515.14015
  6. P. Berthelot, Cohomologie rigide et théorie de Dwork, le cas des sommes exponentielles. Astérisque no119-120 (1984), 17–49. Zbl0577.14013MR773087
  7. S. Bosch, B. Dwork, Ph. Robba, Un théorème de prolongement pour des fonctions analytiques. Math. Ann. 252 (1980), 165–173. Zbl0446.32005MR593629
  8. S. Bosch, U. Güntzer, R. Remmert, Non-archimedean analysis. Grundlehren der Math. Wissenschaften 261, Springer Verlag, 1984. Zbl0539.14017MR746961
  9. S. Bosch, W. Lütkebohmert, Formal and rigid geometry I. Rigid Spaces. Math. Ann. 295 (1993), 291–317. Zbl0808.14017MR1202394
  10. S. Bosch, W. Lütkebohmert, Formal and rigid geometry II. Flattening techniques. Math. Ann. 296 (1993), 403–429. Zbl0808.14018MR1225983
  11. N. Bourbaki, Algèbre [A] chap. I à VII ; Algèbre commutative [AC] chap. I à X ; Topologie Générale [TG] chap. I à X. 
  12. H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra. Princeton University Press, 1956. Zbl0933.18001MR77480
  13. B. Chiarellotto, N. Tsuzuki, Cohomological descent of rigid cohomology for etale coverings. Rendiconti Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 109 (2003). Zbl1167.14306MR1997987
  14. A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de Géométrie Algébrique. Chap. I, Springer Grundlehren 166 ; Chap. II, III, IV, Pub. Math. IHES no8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. Zbl0203.23301
  15. J.-Y. Etesse, Relèvement de schémas et algèbres de Monsky-Washnitzer : théorèmes d’équivalence et de pleine fidélité. Rendiconti Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 107 (2002), 111–138. MR1926205
  16. J.-Y. Etesse, Descente étale des F-isocristaux surconvergents et rationalité des fonctions L de schémas abéliens. Annales Scient. Ec. Norm. Sup., 4ème série, t. 35 (2002), 575–603. MR1981173
  17. J.-Y. Etesse, Introduction to L- functions of F-isocrystals. In Geometric Aspects of Dwork Theory, Vol. II, de Gruyter, 2004, 701–710. Zbl1069.14024MR2099083
  18. J.-Y. Etesse, Images directes et fonctions L en cohomologie rigide. Hal.00262316/ arXiv :0803.1580. 
  19. J.-Y. Etesse, Relèvement de schémas et algèbres de Monsky-Washnitzer : théorèmes d’équivalence et de pleine fidélité II. Rendiconti Sem. Mat. Univ. Padova, vol 122 (2009), 205–234. MR2582838
  20. J.-Y. Etesse, Images directes II : F-isocristaux convergents. Hal-00425919/arXiv : 0910.4434. 
  21. J.-Y. Etesse, Images directes III : Images directes de F-isocristaux surconvergents. Hal-00425922/arXiv : 0910.4435. 
  22. J.-Y. Etesse, Cohomologie syntomique : liens avec la cohomologie étale et la cohomologie rigide. Hal-00425926/ arXiv : 0910.4436. 
  23. J.-Y. Etesse, Fonctions L en cohomologie rigide. Préprint. 
  24. E. Große-Klönne, de Rham-Kohomologie in der rigiden Analysis. Preprintreihe der Universität Münster SFB 478, Heft 39 (1999). 
  25. E. Große-Klönne, Rigid analytic spaces with overconvergent stucture sheaf. Journal für die reine und angewandte Math. 519 (2000), 73–95. Zbl0945.14013MR1739729
  26. A. Grothendieck, Fondements de la Géométrie Algébrique. Extraits du Séminaire Bourbaki 1957–1962, Secrétariat Mathématique, 1962. Zbl0239.14002MR146040
  27. C. U. Jensen, Les Foncteurs Dérivés de l i m ← et leur Applications en Théorie des Modules. Lecture Notes in Math. 254, Springer, 1972. Zbl0238.18007MR407091
  28. N. Katz, Nilpotent connections and the monodromy theorem : application of a result of Turritin. Pub. Math. IHES 39 (1970), 175–232. Zbl0221.14007MR291177
  29. K. Kedlaya, Finiteness of rigid cohomology with coefficients. Preprint, arxiv : math.AG/0208027. Duke Math. J. 134 (2006), 15–97. MR2239343
  30. K. Kedlaya, Full faithfullness for overconvergent F-crystals. In Geometric Aspects of Dwork Theory, Vol. II, de Gruyter, 2004, 819–835. Zbl1087.14018MR2099088
  31. K. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals, I : Unipotence and logarithmic extensions. Preprint, arxiv : math.NT/0405069 v3, 24 Jul 2005. Compositio Math. 143 (2007), 1164–1212. Zbl1144.14012MR2360314
  32. B. Le Stum, Rigid Cohomology. Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, 2007. MR2358812
  33. W. Lütkebohmert, Formal-algebraic and rigid-analytic geometry . Math. Ann. 286 (1990), 341–371. Zbl0716.32022MR1032938
  34. S. Matsuda, F. Trihan, Image directe supérieure et unipotence. J. Reine Angew. Math. 569 (2004), 47–54. Zbl1105.14019MR2055713
  35. A. Shiho, Crystalline Fundamental Groups II- Log Convergent Cohomology and Rigid Cohomology. J. Math. Sci. Univ. Tokyo 9 (2002), 1–163. Zbl1057.14025MR1889223
  36. A. Shiho, Relative Log Convergent Cohomology and Relative Rigid Cohomology I. ArXiv : 0707.1742v1 [math.NT] 12 Jul 2007. 
  37. A. Shiho, Relative Log Convergent Cohomology and Relative Rigid Cohomology II. ArXiv : 0707.1743v1 [math.NT] 12 Jul 2007. 
  38. M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Lecture Notes in Math. 269, 270, 305, Springer 1972, 1973. Zbl0234.00007
  39. F. Trihan, Image directe supérieure et unipotence. Preprint University of Tokyo, 2001. 
  40. N. Tsuzuki, On base change theorem and coherence in rigid cohomology. Documenta Mathematica, Extra Volume : Kazuya Kato’s Fiftieth Birthday, 2003, 891-918. Zbl1093.14503MR2046617

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.