Arithmetic 𝒟 -modules associated with overconvergent isocrystals. Smooth case

Daniel Caro

Bulletin de la Société Mathématique de France (2009)

  • Volume: 137, Issue: 4, page 453-543
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let 𝒱 be a mixed characteristic complete discrete valuation ring, 𝒫 a separated smooth formal scheme over 𝒱 , P its special fiber, X a smooth closed subscheme of P , T a divisor in P such that T X = T ∩ X is a divisor in X and 𝒟 𝒫 † ( † T ) ℚ the tensorized with ℚ weak completion of the sheaf of differential operators on 𝒫 with overconvergent singularities along T . We construct a fully faithful functor denoted by sp X ↪ 𝒫 , T , + from the category of isocrystal on X ∖ T X overconvergent along T X into the category of coherent 𝒟 𝒫 † ( † T ) ℚ -modules with support in X . Next, we prove the commutation of sp X ↪ 𝒫 , T , + with (extraordinary) inverse images and dual functors. These properties are compatible with Frobenius.

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Caro, Daniel. "$\mathcal {D}$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse." Bulletin de la Société Mathématique de France 137.4 (2009): 453-543. <http://eudml.org/doc/272409>.

@article{Caro2009,
abstract = {Soient $\mathcal \{V\}$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $\{\mathcal \{P\}\}$ un $\mathcal \{V\}$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T _X = T \cap X$ soit un diviseur de $X$ et $\smash\{\mathcal \{D\} \}^\dag _\{\{\mathcal \{P\}\}\}( \phantom\{\}\{^\{\dag \} \} T) _\{\mathbb \{Q\}\}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $\{\mathcal \{P\}\}$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb \{Q\}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté $ \mathrm \{sp\}_\{X \hookrightarrow \{\mathcal \{P\}\},T,+\}$, de la catégorie des isocristaux sur $X \setminus T _X$ surconvergents le long de $T _X$ dans celle des $\smash\{\mathcal \{D\} \}^\dag _\{\{\mathcal \{P\}\}\}( \phantom\{\}\{^\{\dag \} \} T) _\{\mathbb \{Q\}\}$-modules cohérents à support dans $X$. Puis, nous prouvons la commutation de $ \mathrm \{sp\}_\{X \hookrightarrow \{\mathcal \{P\}\},T,+\}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.},
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TY - JOUR
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AB - Soient $\mathcal {V}$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, ${\mathcal {P}}$ un $\mathcal {V}$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T _X = T \cap X$ soit un diviseur de $X$ et $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur ${\mathcal {P}}$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb {Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X \setminus T _X$ surconvergents le long de $T _X$ dans celle des $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$-modules cohérents à support dans $X$. Puis, nous prouvons la commutation de $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.
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UR - http://eudml.org/doc/272409
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