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Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p\>0$, $U$ une variété sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des ($F$-)$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes sur $U$ et celle des ($F$-)complexes de $𝒟$-modules arithmétiques sur $U$ surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque $U$ est lisse, nous vérifions que les $F$-isocristaux...

Soient $𝒱$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $𝒫$ un $𝒱$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T_X=T\cap X$ soit un diviseur de $X$ et ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $𝒫$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb{Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X\setminus T_X$ surconvergents le long de $T_X$ dans celle des ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents...

Ce travail s’inscrit dans le cadre de la théorie des $𝒟$-modules arithmétiques de Berthelot. Nous définissons la notion de $𝒟$-modules arithmétiques holonomes. Lorsque les modules sont munis d’une structure de Frobenius, nous retrouvons la définition d’holonomie de Berthelot. Nous vérifions que l’inégalité de Bernstein et le critère homologique d’holonomie de Virrion restent valables sans l’hypothèse d’une structure de Frobenius. Nous établissons qu’un $𝒟$-module surcohérent (sans structure de Frobenius)...

Nous étudions d’abord le foncteur cohomologique local. Ensuite, nous introduisons la notion de $𝒟$-modules arithmétiques surcohérents. Nous prouvons que les $F$- isocristaux unités sont surcohérents et surtout que la surcohérence est stable par images directes, images inverses extraordinaires et foncteurs cohomologiques locaux. On obtient, via cette stabilité, une formule cohomologique pour les fonctions $L$ associées aux complexes duaux de complexes surcohérents. Celle-ci étend celle d’Étesse et Le Stum...