Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles

Pierre Lelong

Annales de l'institut Fourier (1961)

  • Volume: 11, page 515-562
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Dans la première partie, on étudie les familles F localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine Δ de l’espace C p des variables complexes X 1 , ... , X p , X k = x k + i y k  ; on suppose que le sous-espace réel R p coupe Δ selon un domaine D de la topologie R p . On sait que l’enveloppe supérieure w de F a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique w * . L’étude porte sur l’ensemble E où l’on a w < w *  : E est réunion de p ensemble de R 2 p -capacité nulle, dont chacun est coupé par une des directions d’axe complexe selon des ensembles de R 2 -capacité nulle. Sur R p , E est de mesure nulle et w est localement sommable.Ces propriétés permettent l’étude de classes particulières ( L , D ) de fonctions analytiques f de variables réelles dont les domaines d’holomorphie ont une intersection Ω ( D ) non vide et pour lesquelles il existe une majoration de | f | sur un compact Γ de Ω ( D ) en fonction linéaire de sup. | f | sur un compact G de D , la correspondance Γ G étant continue (eu égard aux topologies C p et R p respectivement) au voisinage de l’identité G G .

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Lelong, Pierre. "Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles." Annales de l'institut Fourier 11 (1961): 515-562. <http://eudml.org/doc/73781>.

@article{Lelong1961,
abstract = {Dans la première partie, on étudie les familles $F$ localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine $\Delta $ de l’espace $\{\bf C\}^p$ des variables complexes $X_1,\ldots , X_p,X_k=x_k+iy_k$ ; on suppose que le sous-espace réel $\{\bf R\}^p$ coupe $\Delta $ selon un domaine $D$ de la topologie $\{\bf R\}^p$. On sait que l’enveloppe supérieure $w$ de $F$ a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique $w^*$. L’étude porte sur l’ensemble $E$ où l’on a $w&lt; w^*$ : $E$ est réunion de $p$ ensemble de $\{\bf R\}^\{2p\}$-capacité nulle, dont chacun est coupé par une des directions d’axe complexe selon des ensembles de $\{\bf R\}^2$-capacité nulle. Sur $\{\bf R\}^p$, $E$ est de mesure nulle et $w$ est localement sommable.Ces propriétés permettent l’étude de classes particulières $(\{\bf L\},D)$ de fonctions analytiques $f$ de variables réelles dont les domaines d’holomorphie ont une intersection $\Omega (D)$ non vide et pour lesquelles il existe une majoration de $\vert f\vert $ sur un compact $\Gamma $ de $\Omega (D)$ en fonction linéaire de sup.$\vert f\vert $ sur un compact $G$ de $D$, la correspondance $\Gamma \rightarrow G$ étant continue (eu égard aux topologies $\{\bf C\}^p$ et $\{\bf R\}^p$ respectivement) au voisinage de l’identité $G\rightarrow G$.},
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AB - Dans la première partie, on étudie les familles $F$ localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine $\Delta $ de l’espace ${\bf C}^p$ des variables complexes $X_1,\ldots , X_p,X_k=x_k+iy_k$ ; on suppose que le sous-espace réel ${\bf R}^p$ coupe $\Delta $ selon un domaine $D$ de la topologie ${\bf R}^p$. On sait que l’enveloppe supérieure $w$ de $F$ a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique $w^*$. L’étude porte sur l’ensemble $E$ où l’on a $w&lt; w^*$ : $E$ est réunion de $p$ ensemble de ${\bf R}^{2p}$-capacité nulle, dont chacun est coupé par une des directions d’axe complexe selon des ensembles de ${\bf R}^2$-capacité nulle. Sur ${\bf R}^p$, $E$ est de mesure nulle et $w$ est localement sommable.Ces propriétés permettent l’étude de classes particulières $({\bf L},D)$ de fonctions analytiques $f$ de variables réelles dont les domaines d’holomorphie ont une intersection $\Omega (D)$ non vide et pour lesquelles il existe une majoration de $\vert f\vert $ sur un compact $\Gamma $ de $\Omega (D)$ en fonction linéaire de sup.$\vert f\vert $ sur un compact $G$ de $D$, la correspondance $\Gamma \rightarrow G$ étant continue (eu égard aux topologies ${\bf C}^p$ et ${\bf R}^p$ respectivement) au voisinage de l’identité $G\rightarrow G$.
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ER -

References

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Citations in EuDML Documents

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