Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels

Francis Hirsch

Annales de l'institut Fourier (1972)

  • Volume: 22, Issue: 1, page 89-210
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
This is a study, on Banach spaces, of resolvent families (i.e. pseudo-resolvents) ( R λ ) λ > 0 and of the “generators” that can be associated to them when λ tends to zero or to infinity. When the family is a contraction family these “generators” satisfy abstract versions of the “maximum principles” used in Potential theory. The important notion introduced here is the notion of “codissipativity” (linked to the dissipativity introduced by G. Lumer and E.S. Phillips).From this study, the fundamental Hunt-Lion theorem (which characterizes, through submarkovian resolvent families, the positive operators on a space 𝒞 0 , whose domains contain the space of functions with compact support, and that satisfy the complete maximum principle) is extended to the cases of non positivity and of partial positivity.Then, in the framework of convolution, other principles are studied, that are weaker but more concrete than codissipativity.Finally, some results are given on the Operational calculus of “abstracts potentials”.

How to cite

top

Hirsch, Francis. "Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels." Annales de l'institut Fourier 22.1 (1972): 89-210. <http://eudml.org/doc/74071>.

@article{Hirsch1972,
abstract = {Nous étudions, dans les espaces de Banach, les familles résolvantes (ou pseudo-résolvantes) $(R_\lambda )_\{\lambda &gt;0\}$ et les “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda $ tend vers zéro ou quand $\lambda $ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda $ tend vers zéro ou quand $\lambda $ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” vérifient des “principes du maximum” qui sont des versions “abstraites” de principes du maximum rencontrés en théorie du potentiel. La notion importante introduite est la notion de codissipativité (liée à la notion de dissipativité déjà introduite par G. Lumer et R.S. Phillips).Cette étude nous permet d’étendre le théorème fondamental de Hunt-Lion (ce théorème caractérise, au moyen des familles résolvantes sous-markoviennes, les opéra-teurs positifs sur un espace $\{\cal C\}^0$, de domaine contenant les fonctions continues à support compact et vérifiant le principe complet du maximum) à des cas de non positivité partielle.Nous étudions ensuite, dans le cadre de la convolution, des “principes” plus faibles, mais plus concrets, que la codissipativité.Enfin, nous donnons certains résultats concernant un calcul symbolique sur les “potentiels abstraits”.},
author = {Hirsch, Francis},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {1},
pages = {89-210},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels},
url = {http://eudml.org/doc/74071},
volume = {22},
year = {1972},
}

TY - JOUR
AU - Hirsch, Francis
TI - Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1972
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 22
IS - 1
SP - 89
EP - 210
AB - Nous étudions, dans les espaces de Banach, les familles résolvantes (ou pseudo-résolvantes) $(R_\lambda )_{\lambda &gt;0}$ et les “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda $ tend vers zéro ou quand $\lambda $ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda $ tend vers zéro ou quand $\lambda $ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” vérifient des “principes du maximum” qui sont des versions “abstraites” de principes du maximum rencontrés en théorie du potentiel. La notion importante introduite est la notion de codissipativité (liée à la notion de dissipativité déjà introduite par G. Lumer et R.S. Phillips).Cette étude nous permet d’étendre le théorème fondamental de Hunt-Lion (ce théorème caractérise, au moyen des familles résolvantes sous-markoviennes, les opéra-teurs positifs sur un espace ${\cal C}^0$, de domaine contenant les fonctions continues à support compact et vérifiant le principe complet du maximum) à des cas de non positivité partielle.Nous étudions ensuite, dans le cadre de la convolution, des “principes” plus faibles, mais plus concrets, que la codissipativité.Enfin, nous donnons certains résultats concernant un calcul symbolique sur les “potentiels abstraits”.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74071
ER -

References

top
  1. [1] V. BALAKRISHNAN, Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math., t. 10, 419-437, (1960). Zbl0103.33502
  2. [2] S. BOCHNER, Harmonic analysis and the theory of probability. Second Printing. University of California Press. Berkeley and Los Angeles. (1960). 
  3. [3] R.B. BURCKEL, Weakly almost periodic functions on semi-groups, Gordon and Breach, New-York. (1970). Zbl0192.48602MR41 #8562
  4. [4] J. DENY, Sur l'équation de convolution µ = µ * σ. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 4ème année, (1959/1960), n° 5. 
  5. [5] J. DENY, Les principes du maximum en théorie du potentiel. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 6ème année, (1961/1962), n° 10. Zbl0115.32101
  6. [6] J. FARAUT, Puissances fractionnaires d'un noyau de Hunt. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 10ème année, (1965/1966), n° 7. Zbl0173.19801
  7. [7] J. FARAUT, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 20, (1970), Fasc. 1. Zbl0188.19902MR54 #8348
  8. [8] F. HIRSCH, Sur le principe classique du maximum et le quotient de deux fonctions de Bernstein, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 267, (1968), Série A, 795-798. Zbl0165.13001MR39 #4422
  9. [9] F. HIRSCH, Sur un principe du maximum pour des noyaux complexes bornés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, 959-962. Zbl0184.34602MR43 #2561
  10. [10] F. HIRSCH, Opérateurs codissipatifs, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 270, 1970, Série A, 1 487-1 490. Zbl0192.48003MR44 #2081
  11. [11] F. HIRSCH, Sur les familles résolvantes et les “générateurs” associés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, (1970), Série A, 714-717. Zbl0199.45403MR44 #2082
  12. [12] F. HIRSCH, Sur une généralisation d'un théorème de M. Ito, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, (1970), Série A, 1 236-1 238. Zbl0204.42401MR44 #2083
  13. [13] F. HIRSCH, Sur le principe classique du maximum, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel. 13ème année, (1969/1970), n° 6. Zbl0213.38201
  14. [14] F. HIRSCH, Noyaux associés à des opérateurs de Faraut. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel. 13ème année, (1969/1970), n° 10. Zbl0213.38202
  15. [15] G.A. HUNT, Markoff processes and potentials, Illinois J. of Math., t. 1, (1957), 44-93 et 316-369 et t. 2, 1958, 151-215. Zbl0100.13804MR19,951g
  16. [16] M. ITO, Sur les sommes de noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Scd'après. Paris, t. 271, (1970), Série A, 937-940. Zbl0216.16605MR42 #6271
  17. [17] J.P. KAHANE, Quotients de fonctions définies-négatives ( Beurling et Deny), Séminaire Bourbaki, 19ème année, 1966/1967, n° 315. Zbl0193.39602
  18. [18] T. KATO, Nonlinear semi-groups and evolution equations. J. Math. Soc. Japan, t. 19, n° 4, (1967). Zbl0163.38303MR37 #1820
  19. [19] H. KOMATSU, Fractional powers of operators, Pacific J. of Math., t. 19, n° 2, (1966). Zbl0154.16104MR34 #1862
  20. [20] H. KOMATSU, Fractional powers of operators, Negative powers, J. Math. Soc. Japan, t. 21, n° 2, (1969). Zbl0181.41003
  21. [21] G. LION, Familles d'opérateurs et frontière en théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 16, (1966), fasc. 2, 389-453. Zbl0143.34502MR35 #6207
  22. [22] G. LUMER and R.S. PHILLIPS, Dissipative operators in a Banach space, Pacific J. of Math., t. 11, (1961), 679-698. Zbl0101.09503MR24 #A2248
  23. [23] G. MOKOBODSKI et D. SIBONY, Cônes adaptés de fonctions continues et théorie du potentiel, Séminaire Choquet : Initiation à l'analyse, 6ème année, (1966-1967), n° 5. Zbl0182.16302
  24. [24] R.R. PHELPS, Lectures on Choquet theorem, Van Nostrand-Princeton. (1966). Zbl0135.36203MR33 #1690
  25. [25] R.S. PHILLIPS, Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., t. 90, (1959), 193-254. Zbl0093.10001MR21 #3669
  26. [26] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions. Hermann, Paris, (1966). 
  27. [27] D.V. WIDDER, The Laplace Transform. Princeton University Press. Princeton, (1946). Zbl0060.24801JFM67.0384.01
  28. [28] K. YOSIDA, Functional analysis. Second Printing. Springer-Verlag. Berlin, (1968). 
  29. [29] K. YOSIDA, On the existence of abstract potential operators and the principle of majoration associated with them. Research institute for mathematical sciences, Kyoto, Japan, April 1970. 
  30. [30] K. YOSIDA, A characterisation of abstract potential operators. Research institue for mathematical sciences, Kyoto, Japan, May 1970. 
  31. [31] K. YOSIDA, T. WATANABE, H. TANAKA, On the pre-closedness of the potential operator. J. Math. Soc. Japan, t. 20, n° 1-2, (1968). Zbl0157.19004MR37 #4282

Citations in EuDML Documents

top
  1. Gabriel Mokobodzki, Inégalités liées au principe du maximum
  2. Gunter Lumer, Perturbation de générateurs infinitésimaux du type «changement de temps»
  3. G. Lumer, Équations d'évolution en norme uniforme (conditions nécessaires et suffisantes de résolution et holomorphie)
  4. Francis Hirsch, Intégrales de résolvantes et calcul symbolique
  5. Masayuki Itô, Sur le cône convexe maximum formé par des diviseurs d'un noyau de convolution et son application
  6. Jacques Deny, Développements récents de la théorie du potentiel
  7. Jacques Faraut, Semi-groupes de Feller invariants sur les espaces hyperboliques
  8. Francis Hirsch, Opérateurs dissipatifs et codissipatifs invariants par translations sur les groupes localement compacts
  9. C. Sunyach, Une classe de chaînes de Markov récurrentes sur un espace métrique complet
  10. Gunter Lumer, Problème de Cauchy pour opérateurs locaux et «changement de temps»

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.