Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques

Loeb, Jean-Jacques. "Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques." Annales de l'institut Fourier 35.4 (1985): 59-97. <http://eudml.org/doc/74698>.

@article{Loeb1985,
abstract = {Soit $G_\{\{\bf C\}\}$ un groupe de Lie complexe et $G_\{\{\bf R\}\}$ une forme réelle fermée de $G_\{\{\bf C\}\}$. Un couple $(G_\{\{\bf C\}\},G_\{\{\bf R\}\})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_\{\{\bf C\}\}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_\{\{\bf R\}\}$ et d’exhaustion sur $G_\{\{\bf C\}\}/G_\{\{\bf R\}\}$. On dit que $G_\{\{\bf R\}\}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie$(G_\{\{\bf R\}\})$, les valeurs propres de ad$\ X$ sont imaginaires pures. Pour $G_\{\{\bf C\}\}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_\{\{\bf C\}\},G_\{\{\bf R\}\})$. Pour $(G_\{\{\bf C\}\},G_\{\{\bf R\}\})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant $\Omega $ une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur $\Omega /G_\{\{\bf R\}\}$. Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant : “Soit $\Omega $ un ouvert de Stein $G_\{\{\bf R\}\}$-invariant de $X\times G_\{\{\bf C\}\}$ et à fibre connexe au-dessus de $X$. Sa projection sur $X$ est de Stein, lorsque $X$ est de Stein”. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur $G_\{\{\bf C\}\}$ lorsque $G_\{\{\bf R\}\}$ n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.},
author = {Loeb, Jean-Jacques},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Stein space; pure imaginary spectrum; pseudoconvex complex Lie group; plurisubharmonic function; nonexistence of Kähler metric},
language = {fre},
number = {4},
pages = {59-97},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques},
url = {http://eudml.org/doc/74698},
volume = {35},
year = {1985},
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TY - JOUR
AU - Loeb, Jean-Jacques
TI - Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1985
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 35
IS - 4
SP - 59
EP - 97
AB - Soit $G_{{\bf C}}$ un groupe de Lie complexe et $G_{{\bf R}}$ une forme réelle fermée de $G_{{\bf C}}$. Un couple $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_{{\bf C}}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_{{\bf R}}$ et d’exhaustion sur $G_{{\bf C}}/G_{{\bf R}}$. On dit que $G_{{\bf R}}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie$(G_{{\bf R}})$, les valeurs propres de ad$\ X$ sont imaginaires pures. Pour $G_{{\bf C}}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$. Pour $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant $\Omega $ une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur $\Omega /G_{{\bf R}}$. Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant : “Soit $\Omega $ un ouvert de Stein $G_{{\bf R}}$-invariant de $X\times G_{{\bf C}}$ et à fibre connexe au-dessus de $X$. Sa projection sur $X$ est de Stein, lorsque $X$ est de Stein”. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur $G_{{\bf C}}$ lorsque $G_{{\bf R}}$ n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.
LA - fre
KW - Stein space; pure imaginary spectrum; pseudoconvex complex Lie group; plurisubharmonic function; nonexistence of Kähler metric
UR - http://eudml.org/doc/74698
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