Duality and comparison for logarithmic de Rham complexes with respect to free divisors

Francisco Javier Calderón Moreno[1]; Luis Narváez Macarro

  • [1] Universidad de Sevilla, Facultad de Matemáticas, Departamento de Álgebra, c/ Tarfia s/n, 41012 Sevilla (Espagne)

Annales de l’institut Fourier (2005)

  • Volume: 55, Issue: 1, page 47-75
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let X be a complex analytic manifold and D ⊂ X a free divisor. Integrable logarithmic connections along D can be seen as locally free 𝒪 X -modules endowed with a (left) module structure over the ring of logarithmic differential operators 𝒟 X ( log D ) . In this paper we study two related results: the relationship between the duals of any integrable logarithmic connection over the base rings 𝒟 X and 𝒟 X ( log D ) , and a differential criterion for the logarithmic comparison theorem. We also generalize a formula of Esnault-Viehweg in the normal crossing case for the Verdier dual of a logarithmic de Rham complex.

How to cite

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Calderón Moreno, Francisco Javier, and Narváez Macarro, Luis. "Dualité et comparaison pour les complexes de de Rham logarithmiques par rapport aux diviseurs libres." Annales de l’institut Fourier 55.1 (2005): 47-75. <http://eudml.org/doc/116191>.

@article{CalderónMoreno2005,
abstract = {Soit $X$ une variété analytique complexe lisse et $D\subset X$ un diviseur libre. Les connexions logarithmiques intégrables par rapport à $D$ peuvent être étudiées comme des $\{\mathcal \{O\}\}_X$-modules localement libres munis d’une structure de module (à gauche) sur l’anneau $\{\mathcal \{D\}\}_X(\log D)$ des opérateurs différentiels logarithmiques . Dans cet article nous étudions deux résultats liés : la relation entre les duaux d’une connexion logarithmique intégrable sur les anneaux de base $\{\mathcal \{D\}\}_X$ et $\{\mathcal \{D\}\}_X(\log D)$, et un critère différentiel pour le théorème de comparaison logarithmique. Nous généralisons aussi une formule d’Esnault-Viehweg pour le dual de Verdier d’un complexe de de Rham logarithmique dans le cas à croisements normaux.},
affiliation = {Universidad de Sevilla, Facultad de Matemáticas, Departamento de Álgebra, c/ Tarfia s/n, 41012 Sevilla (Espagne)},
author = {Calderón Moreno, Francisco Javier, Narváez Macarro, Luis},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
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title = {Dualité et comparaison pour les complexes de de Rham logarithmiques par rapport aux diviseurs libres},
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TY - JOUR
AU - Calderón Moreno, Francisco Javier
AU - Narváez Macarro, Luis
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JO - Annales de l’institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 55
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AB - Soit $X$ une variété analytique complexe lisse et $D\subset X$ un diviseur libre. Les connexions logarithmiques intégrables par rapport à $D$ peuvent être étudiées comme des ${\mathcal {O}}_X$-modules localement libres munis d’une structure de module (à gauche) sur l’anneau ${\mathcal {D}}_X(\log D)$ des opérateurs différentiels logarithmiques . Dans cet article nous étudions deux résultats liés : la relation entre les duaux d’une connexion logarithmique intégrable sur les anneaux de base ${\mathcal {D}}_X$ et ${\mathcal {D}}_X(\log D)$, et un critère différentiel pour le théorème de comparaison logarithmique. Nous généralisons aussi une formule d’Esnault-Viehweg pour le dual de Verdier d’un complexe de de Rham logarithmique dans le cas à croisements normaux.
LA - fre
KW - $D$-modules; Verdier duality; meromorphic-logarithmic comparison; perversity
UR - http://eudml.org/doc/116191
ER -

References

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  1. E. Backelin, On the homological dimension of a Der-free hypersurface, Math. Scand. (1996), 13-18 Zbl0878.32012MR1400847
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématiques. Algèbre. Chapitre 10: Algèbre homologique, (1980), Masson, Paris Zbl0455.18010MR610795
  3. F. J. Calderón Moreno, Logarithmic differential operators and logarithmic de Rham complexes relative to a free divisor, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4e série 32 (1999), 701-714 Zbl0955.14013MR1710757
  4. F. J. Calderón Moreno, D. Mond, L. Narváez Macarro, F. J. Castro Jiménez, Logarithmic cohomology of the complement of a plane curve, Comment. Math. Helv. (2002), 24-38 Zbl1010.32016MR1898392
  5. F. J. Calderón Moreno, L. Narváez Macarro, Locally quasi-homogeneous free divisors are Koszul free, Proc. Steklov Inst. Math. 238 (2002), 72-77 Zbl1031.32006MR1969305
  6. F. J. Calderón Moreno, L. Narváez Macarro, The module 𝒟 f s for locally quasi-homogeneous free divisors, Compositio Math. (2002), 59-74 Zbl1017.32023
  7. F. J. Castro Jiménez, D. Mond, L. Narváez Macarro, Cohomology of the complement of a free divisor, Trans. A.M.S. 348 (1996), 3037-3049 Zbl0862.32021MR1363009
  8. F. J. Castro Jiménez, J. M. Ucha Enríquez, Free divisors and duality for 𝒟 -modules, Proc. Steklov Inst. Math. 238 (2002), 88-96 Zbl1039.32011MR1969307
  9. F. J. Castro Jiménez, J. M. Ucha Enríquez, Logarithmic comparaison theorem and some Euler homogeneous free divisors Zbl1077.32012MR2111967
  10. S. Chemla, A duality property for complex Lie algebroids, Math. Z. (1999), 367-388 Zbl0933.32015MR1718638
  11. P. Deligne, Equations Différentielles à Points Singuliers Réguliers, 163 (1970), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg Zbl0244.14004MR417174
  12. H. Esnault, E. Viehweg, Logarithmic De Rham complexes and vanishing theorems, Invent. Math. 86 (1986), 161-194 Zbl0603.32006MR853449
  13. D. R. Grayson, M. E. Stillman, Macaulay 2 
  14. J. Huebschmann, Lie-Rinehart algebras, Gerstenhaber algebras and Batalin-Vilkovisky algebras, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 48 (1998), 425-440 Zbl0973.17027MR1625610
  15. J. Huebschmann, Duality for Lie-Rinehart algebras and the modular class, J. Reine Angew. Math. 510 (1999), 103-159 Zbl1034.53083MR1696093
  16. A. Leykin, H. Tsai, D -modules for Macaulay 2 
  17. Ph. Maisonobe, L. Narváez Macarro (editors), Éléments de la théorie des systèmes différentiels géométriques, Cours du C.I.M.P.A., École d'été de Séville (1996) 8 (2004), Soc. Math. France, Paris 
  18. Z. Mebkhout, Le théorème de positivité, le théorème de comparaison et le théorème d'existence de Riemann, Cours de C.I.M.P.A., Ecole d'été de Séville 8 (1996), 165-308, Soc. Math. France, Paris Zbl1082.32006
  19. Z. Mebkhout, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les 𝒟 X -modules cohérents, 35 (1989), Paris Zbl0686.14020
  20. Z. Mebkhout, L. Narváez Macarro, La théorie du polynôme de Bernstein-Sato pour les algèbres de Tate et de Dwork-Monsky-Washnitzer, Ann. Sci. E.N.S. 24 (1991), 227-256 Zbl0765.14009MR1097693
  21. L. Narváez Macarro, The Local Duality Theorem in 𝒟 -module Theory, Cours du CIMPA, Ecole d'été de Séville 8 (1996), 59-88, Soc. Math. France, Paris Zbl1061.32007
  22. L. Narváez Macarro, A. Rojas León, Continuous division of linear differential operators and faithful flatness of 𝒟 X ∞ over 𝒟 X , Cours du C.I.M.P.A., Ecole d'Eté de Séville 8 (1996), 129-148, Soc. Math. France Zbl1061.32008
  23. G. S. Rinehart, Differential forms on general commutative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 195-222 Zbl0113.26204MR154906
  24. K. Saito, Theory of logarithmic differential forms and logarithmic vector fields, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 27 (1980), 265-291 Zbl0496.32007MR586450
  25. M. Sato, T. Kawai, and M. Kashiwara, Microfunctions and pseudo-differential equations, Lect. Notes in Math. 287 (1973), 265-529 Zbl0277.46039MR420735
  26. T. Torrelli, On meromorphic functions defined by a differential system of order, Bull. Soc. Math. France 132 (2004), 591-612 Zbl1080.32011MR2131905
  27. J.M. Ucha Enriquez, Métodos constructivos en álgebras de operadores diferenciales, (1999) 

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