Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel

Jacques Deny

Annales de l'institut Fourier (1950)

  • Volume: 2, page 83-99
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive μ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux K considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de K est une fonction positive K dont l’inverse I / K est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : K = K ( x ) est une fonction positive continue pour tout x , finie pour x 0 , et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel K ( x - y ) d μ ( y ) au support de μ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace R m tout entier.On considère les trois définitions de l’énergie d’une μ 0  :(I) E 1 ( μ ) = K ( x - y ) d μ ( x ) d μ ( y ) (c’est la définition classique, qui a un sens si K est une fonction borélienne 0 ).(II) Si la mesure composée K * μ * μ ˇ ( μ ˇ = mesure symétrique de μ ) existe et est à densité continue f ( x ) , on pose E 2 ( μ ) = S p K * μ * μ ˇ ( = f ( 0 ) ) ; sinon E 2 ( μ ) = + .(III) Si la transformée de Fourier M = F ( μ ) est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité K = F ( K ) , on pose E 2 ( μ ) = K | M | 2 d x  ; sinon E 3 ( μ ) = + .Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), E 2 ( μ ) < entraîne E 2 ( μ ) = E 3 ( μ ) , et l’espace de ces mesures est complet pour la norme E 2 ( μ ) . Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours E 1 ( μ ) = E 2 ( μ ) . La question de savoir s’il existe des mesures μ satisfaisant à E 3 ( μ ) < E 2 ( μ ) = + n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.

How to cite

top

Deny, Jacques. "Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel." Annales de l'institut Fourier 2 (1950): 83-99. <http://eudml.org/doc/73696>.

@article{Deny1950,
abstract = {Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu $ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive $\{\bf K\}$ dont l’inverse $I/\{\bf K\}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K(x)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu (y)$ au support de $\mu $ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :(I) $E_1(\mu )=\int \int K(x-y)d\mu (x)d\mu (y)$(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).(II) Si la mesure composée $K*\mu * \check\{\mu \}$ ($\check\{\mu \}=$ mesure symétrique de $\mu $) existe et est à densité continue $f(x)$, on pose $E_2(\mu )=SpK*\mu *\check\{\mu \}$ ($=f(0)$) ; sinon $E_2(\mu )=+\infty $.(III) Si la transformée de Fourier $\{\bf M\}=\{\bf F\}(\mu )$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité $\{\bf K\}=\{\bf F\}(K)$, on pose $E_2(\mu )=\int \{\bf K\}\vert \{\bf M\}\vert ^2dx$ ; sinon $E_3(\mu )=+\infty $.Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2(\mu )&lt; \infty $ entraîne $E_2(\mu )=E_3(\mu )$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt\{E_2(\mu )\}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1(\mu )=E_2(\mu )$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu $ satisfaisant à $E_3(\mu )&lt; E_2(\mu )=+\infty $ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.},
author = {Deny, Jacques},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {partial differential equations},
language = {fre},
pages = {83-99},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel},
url = {http://eudml.org/doc/73696},
volume = {2},
year = {1950},
}

TY - JOUR
AU - Deny, Jacques
TI - Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1950
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 2
SP - 83
EP - 99
AB - Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu $ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive ${\bf K}$ dont l’inverse $I/{\bf K}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K(x)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu (y)$ au support de $\mu $ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :(I) $E_1(\mu )=\int \int K(x-y)d\mu (x)d\mu (y)$(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).(II) Si la mesure composée $K*\mu * \check{\mu }$ ($\check{\mu }=$ mesure symétrique de $\mu $) existe et est à densité continue $f(x)$, on pose $E_2(\mu )=SpK*\mu *\check{\mu }$ ($=f(0)$) ; sinon $E_2(\mu )=+\infty $.(III) Si la transformée de Fourier ${\bf M}={\bf F}(\mu )$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité ${\bf K}={\bf F}(K)$, on pose $E_2(\mu )=\int {\bf K}\vert {\bf M}\vert ^2dx$ ; sinon $E_3(\mu )=+\infty $.Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2(\mu )&lt; \infty $ entraîne $E_2(\mu )=E_3(\mu )$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt{E_2(\mu )}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1(\mu )=E_2(\mu )$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu $ satisfaisant à $E_3(\mu )&lt; E_2(\mu )=+\infty $ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.
LA - fre
KW - partial differential equations
UR - http://eudml.org/doc/73696
ER -

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.