Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel

Deny, Jacques. "Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel." Annales de l'institut Fourier 2 (1950): 83-99. <http://eudml.org/doc/73696>.

@article{Deny1950,
abstract = {Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu $ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive $\{\bf K\}$ dont l’inverse $I/\{\bf K\}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K(x)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu (y)$ au support de $\mu $ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :(I) $E_1(\mu )=\int \int K(x-y)d\mu (x)d\mu (y)$(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).(II) Si la mesure composée $K*\mu * \check\{\mu \}$ ($\check\{\mu \}=$ mesure symétrique de $\mu $) existe et est à densité continue $f(x)$, on pose $E_2(\mu )=SpK*\mu *\check\{\mu \}$ ($=f(0)$) ; sinon $E_2(\mu )=+\infty $.(III) Si la transformée de Fourier $\{\bf M\}=\{\bf F\}(\mu )$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité $\{\bf K\}=\{\bf F\}(K)$, on pose $E_2(\mu )=\int \{\bf K\}\vert \{\bf M\}\vert ^2dx$ ; sinon $E_3(\mu )=+\infty $.Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2(\mu )&lt; \infty $ entraîne $E_2(\mu )=E_3(\mu )$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt\{E_2(\mu )\}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1(\mu )=E_2(\mu )$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu $ satisfaisant à $E_3(\mu )&lt; E_2(\mu )=+\infty $ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.},
author = {Deny, Jacques},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {partial differential equations},
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pages = {83-99},
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TY - JOUR
AU - Deny, Jacques
TI - Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1950
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 2
SP - 83
EP - 99
AB - Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu $ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive ${\bf K}$ dont l’inverse $I/{\bf K}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K(x)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu (y)$ au support de $\mu $ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :(I) $E_1(\mu )=\int \int K(x-y)d\mu (x)d\mu (y)$(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).(II) Si la mesure composée $K*\mu * \check{\mu }$ ($\check{\mu }=$ mesure symétrique de $\mu $) existe et est à densité continue $f(x)$, on pose $E_2(\mu )=SpK*\mu *\check{\mu }$ ($=f(0)$) ; sinon $E_2(\mu )=+\infty $.(III) Si la transformée de Fourier ${\bf M}={\bf F}(\mu )$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité ${\bf K}={\bf F}(K)$, on pose $E_2(\mu )=\int {\bf K}\vert {\bf M}\vert ^2dx$ ; sinon $E_3(\mu )=+\infty $.Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2(\mu )&lt; \infty $ entraîne $E_2(\mu )=E_3(\mu )$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt{E_2(\mu )}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1(\mu )=E_2(\mu )$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu $ satisfaisant à $E_3(\mu )&lt; E_2(\mu )=+\infty $ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.
LA - fre
KW - partial differential equations
UR - http://eudml.org/doc/73696
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