Sur les ℓ -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier ℓ

Georges Gras

Annales de l'institut Fourier (1973)

  • Volume: 23, Issue: 3, page 1-48
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let H ( K ) be the ℓ -group of ideal classes of a cyclic extension K / k of prime degree ℓ and H i = Ker ( σ - 1 ) i ( σ generator of Gal ( K / k ) ). A method which generalizes the Chevalley’s formula (“ambiguous classes”) allows the determination of H i + 1 and the order of H i + 1 / H i , when H i is known. A method is thus obtained which permits an effective determination of the structure of H ( K ) and a general study of ℓ -ideal classes problems.

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Gras, Georges. "Sur les $\ell $-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell $." Annales de l'institut Fourier 23.3 (1973): 1-48. <http://eudml.org/doc/74138>.

@article{Gras1973,
abstract = {Soit $\{\bf H\}(K)$ le $\ell $-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell $ et soit $\{\bf H\}_i=\,\{\rm Ker\}\,(\sigma -1)^i$ ($\sigma $ générateur de $\{\rm Gal\}\,(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer $\{\bf H\}_\{i+1\}$ et l’ordre de $\{\bf H\}_\{i+1\}/\{\bf H\}_i$ à partir de $\{\bf H\}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\{\bf H\}(K)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell $-classes d’idéaux.},
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References

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  1. [1] E. ARTIN, Algebraic Numbers and algebraic Functions, Lectures notes by I. Adamson, Gordon and Breach, New York, (1967). Zbl0194.35301MR38 #5742
  2. [2] E. ARTIN and J. TATE, Class Field Theory, Benjamin, New York, (1967). Zbl0176.33504
  3. [3] H. BAUER, Die 2-Klassenzahlen spezieller quadratischer Zahlkörper, J.f.d.r.u.a. Math., 252 (1972). Zbl0231.12011MR47 #183
  4. [4] H. BAUER, Uber die kubischen Klassenkörper zyklischer kubischer Zahlkörper, Dissertation, Karlsruhe Universität (1970). 
  5. [5] L. BOUVIER et J.J. PAYAN, Construction de certaines extensions de degré p, Séminaire de théorie des nombres de Grenoble (1972). 
  6. [6] L. BOUVIER, Table des 2-rang, 4-rang et 8-rang du 2-groupe des classes d'idéaux au sens restreint de Q(√m)..., L'Ens. Math. IIe série, t. XVIII, 1, (1972), 37-45. Zbl0238.12005MR49 #2659
  7. [7] C. CHEVALLEY, Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, Jour. of the Fac. of Sc., Tokyo, Vol. II, Part 9 (1933). Zbl59.0190.01JFM59.0190.01
  8. [8] P. DAMEY et J.J. PAYAN, Existence et construction des extensions galoisiennes et non abéliennes de degré 8 d'un corps de caractéristique différente de 2, J.f.d.r.u.a. Math., B. 244 (1970). Zbl0206.34401MR43 #6186
  9. [9] A. FRÖHLICH, The generalization of a theorem of L. Rédei's, Qart. Jour. of math. Oxford (2), 5 (1954), 13-140. Zbl0058.26903
  10. [10] G. GRAS, Extensions abéliennes non ramifiées de degré premier d'un corps quadratique, Bull. Soc. Math. France, 100 (1972). Zbl0249.12002MR46 #1748
  11. [11] G. GRAS, Sur le l-groupe des classes des extensions cycliques de degré premier l, Note C.R.A.S., t. 274 (1972), 1145-1148. Zbl0233.12005MR46 #1749
  12. [12] G. GRAS, Etude du l-groupe des classes des extensions cycliques de degré l, Sém. Delange-Pisot-Poitou, 13e année, (1971-1972), n° 20. Zbl0322.12012
  13. [13] M.N. GRAS, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q (à paraître au journal de Crelle). Zbl0315.12007
  14. [14] H. HASSE, Über die Klassenzahl des Körpers P(√—p) mit einer Primzahl p ≡ 1 mod 23, Aequationes math. 3 (1969). Zbl0179.07704MR40 #2642
  15. [15] H. HASSE, Über die Klassenzahl des Körpers P(√—2p) mit einer Primzahl p ≠ 2, J. of Number theory., 1 (1969), 231-234. Zbl0167.32302MR39 #1424
  16. [16] H. HASSE, Über die Teilbarkeit durch 23 der Klassenzahl imaginärquadratischer Zahlkörper mit genau zwei verschiedenen Diskriminantenprimteilern, j.f.d.r.u.a. Math., 241 (1970). Zbl0207.36203MR41 #3438
  17. [17] D. HILBERT, Théorie des corps de nombres algébriques, trad. T. Got et A. Levy, Hermann, (1913). Zbl44.0240.01
  18. [18] E. INABA, Uber die Struktur der l-klassengruppe zyklischer Zahlkörper von Primzahlgrad l, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I 4 (1940), 61-115. Zbl0024.01002MR2,147aJFM66.0120.05
  19. [19] K. IWASAWA, A note on the group of units of an algebraic Number Field, J. Math. Pures et App., 35 (1956), 189-192. Zbl0071.26504MR17,946h
  20. [20] P. KAPLAN, Divisibilité par 8 du nombre de classes des corps quadratiques réels dont le 2-sous-groupe des classes est cyclique, Note, C.R.A.S., t. 275, 887-890. Zbl0253.12007MR46 #9002
  21. [21] P. KAPLAN, Divisibilité par 8 du nombre de classes des corps quadratiques dont le 2-sous-groupe des classes est cyclique et réciprocité biquadratique, à paraître au J. Math. Soc. of Japan. Zbl0276.12006
  22. [22] H. KISILEVSKY, Some results related to Hilbert's Theorem 94, J. of Number theory, 2 (1970), 199-206. Zbl0216.04701MR41 #3439
  23. [23] S. KOBAYASHI, On the l-dimension of the ideal class group of Kummer extensions of a certain type, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Vol. 18 N° 2, 399-404. Zbl0229.12011MR46 #1752
  24. [24] S. KOBAYASHI, On the 3-rank of the ideal class group of certain pure cubic fields (à paraître). Zbl0322.12011
  25. [25] T. KUBOTA, Uber den bizyklischen biquadratischen Zahlkorper Nagoya Math. J. 10-12 (1956), 65-85. Zbl0074.03001MR18,643e
  26. [26] S.N. KURODA, On the Class Number of Imaginary quadratic Number Fields, Proceedings of Japan Academy, 8, 1965. Zbl0128.03404
  27. [27] S. LANG, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Pub. comp., New York 1970. Zbl0211.38404MR44 #181
  28. [28] H.W. LEOPOLDT, Zur Geschlechtertheorie in abelschen Zahlkörpern, Math. Nachr., 9 (1953), 351-362. Zbl0053.35502MR15,14d
  29. [29] J.J. PAYAN, Sur les classes ambiges et les ordres monogènes d'une extension cyclique de degré premier impair sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire, à paraître à Arkiv för mathematik. Zbl0269.12003
  30. [30] L. REDEI und H. REICHARDT, Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers, J. f.d.r.u.a. Math., 170 (1933). Zbl0007.39602JFM59.0192.01
  31. [31] J.P. SERRE, Corps locaux, Act. Sc. et ind., Paris 1962. Zbl0137.02601MR27 #133
  32. [32] D. SHANKS, Gauss's Ternary form reduction and the 2-Sylow sub-group, Math. of computation, 25 (1971), 837-853. Zbl0227.12002MR45 #6789
  33. [33] O. TAUSSKY, A remark concerning Hilbert's Theorem 94, J.f.d.r.u.a. Math., 239/240 (1970), 435-438. Zbl0186.09002MR43 #4796

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  1. Idriss Jerrari, Abdelmalek Azizi, On the structure of the 2-Iwasawa module of some number fields of degree 16
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  7. Bernard Oriat, Relations entre les 2-groupes de classes d’idéaux des extensions quadratiques k ( d ) et k ( - d )
  8. Dominique Duval, Sur la structure galoisienne du groupe des unités d’un corps abélien réel de type ( p , p )
  9. Arnaud Jehanne, Sur les extensions de ℚ à groupe de Galois S₄ et S̃₄
  10. Georges Gras, Sur la norme du groupe des unités d'extensions quadratiques relatives

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