Développements asymptotiques q -Gevrey et séries G q -sommables

Changgui Zhang

Annales de l'institut Fourier (1999)

  • Volume: 49, Issue: 1, page 227-261
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We give a q -analogous version of the Gevrey asymptotics and of the Borel summability respectively due to G. Watson and E. Borel and developed during the last fifteen years by J.-P. Ramis, Y. Sibuya, ... The goal of these authors was the study of ordinary differential equations in the complex plane. In the same manner, our goal is the study of q -difference equations in the complex plane along the way indicated by G.D. Birkhoff and W.J. Trjitzinsky.More precisely, we introduce a new notion of asymptoticity which we call q -Gevrey asymptotic expansions of order 1. This notion is well adapted to the class of q -Gevrey power series of order 1 studied by J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis and others. Next, we define the class of G q -summable power series of order 1 and give a characterization in terms of q -Borel-Laplace transforms. We show that every power series satisfying a linear analytic q -difference equation is G q -summable of order 1 when the associated Newton polygon has a unique slope equal to 1. We shall study a generalization of this work when the Newton polygon is arbitrary in a later paper.

How to cite

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Zhang, Changgui. "Développements asymptotiques $q$-Gevrey et séries $Gq$-sommables." Annales de l'institut Fourier 49.1 (1999): 227-261. <http://eudml.org/doc/75334>.

@article{Zhang1999,
abstract = {Nous donnons une version $q$-analogue de l’asymptotique Gevrey et de la sommabilité de Borel, dues respectivement à G. Watson et E. Borel et systématiquement développées depuis une quinzaine d’années par J.-P. Ramis, Y. Sibuya, etc. Le but de ces auteurs était l’étude des équations différentielles dans le champ complexe. De même notre but est l’étude des équations aux $q$-différences dans le champ complexe, dans la ligne de G.D. Birkhoff et W.J. Trjitzinsky.Plus précisément, nous introduisons une nouvelle notion d’asymptoticité que nous appelons développements asymptotiques $q$-Gevrey d’ordre 1. Elle est adaptée à la classe des séries entières $q$-Gevrey d’ordre 1 étudiée par J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis, etc. Nous définissons ensuite la classe des séries entières $Gq$-sommables d’ordre 1 et nous en donnons une caractérisation en termes de transformations de Borel et de Laplace $q$-analogues. Nous montrons que toute série entière solution formelle d’une équation aux $q$-différences linéaire à coefficients analytiques est $Gq$-sommable d’ordre 1 lorsque le polygone de Newton de l’équation possède une seule pente égale à 1. Une généralisation de ce travail quand le polygone de Newton est arbitraire fera l’objet d’un article ultérieur.},
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References

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