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Nel presente articolo si illustrano alcuni dei principali metodi numerici per l'approssimazione di modelli matematici legati ai fenomeni di transizione di fase. Per semplificare e contenere l'esposizione ci siamo limitati a discutere con un certo dettaglio i metodi più recenti, presentandoli nel caso di problemi modello, quali il classico problema di Stefan e l'evoluzione di superficie per curvatura media, solo accennando alle applicazioni e modelli più generali.

Si discretizza il problema dell'ostacolo parabolico con differenze all'indietro nel tempo ed elementi finiti lineari nello spazio e si dimostrano stime dell'errore per la frontiera libera discreta.

Si discretizza il problema dell'ostacolo parabolico con differenze all'indietro nel tempo ed elementi finiti lineari nello spazio e si dimostrano stime dell'errore per la frontiera libera discreta.

The numerical approximation of the minimum problem: ${min}_{A\subseteq \mathrm{\Omega }}\tilde{\mathcal{F}}\left(A\right)$, is considered, where $\tilde{\mathcal{F}}\left(A\right)=P_{\mathrm{\Omega }}\left(A\right)+\cos \left(\theta \right){\mathcal{H}}^{n-1}\left(\partial A\cap \partial \mathrm{\Omega }\right)-{\int }_A\kappa$. The solution to this problem is a set $A\subseteq \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ with prescribed mean curvature $\kappa$ and contact angle $\theta$ at the intersection of $\partial A$ with $\partial \mathrm{\Omega }$. The functional $\tilde{\mathcal{F}}$ is first relaxed with a sequence of nonconvex functionals defined in $H^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ which, in turn, are discretized by finite elements. The $\mathrm{\Gamma }$-convergence of the discrete functionals to $\tilde{\mathcal{F}}$ as well as the compactness of any sequence of discrete absolute minimizers are proven.

We address the numerical minimization of the functional $\mathcal{F}\left(v\right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\left|Dv\right|+{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\mu vd{\mathcal{H}}^{n-1}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}xvdx$, for $v\in BV\left(\mathrm{\Omega };\left\{-1,1\right\}\right)$. We note that $\mathcal{F}$ can be equivalently minimized on the larger, convex, set $BV\left(\mathrm{\Omega };\left[-1,1\right]\right)$ and that, on that space, $\mathcal{F}$ may be regularized with a sequence $\mathit{\left\{}\mathcal{F}{}_{ϵ}\right(v)=\int {}_{\mathrm{\Omega }}\sqrt{{ϵ}^2+{\left|Dv\right|}^2}+\int {}_{\partial \mathrm{\Omega }}\mu vd\mathcal{H}{}^{n-1}-\int {}_{\mathrm{\Omega }}xvdx\mathit{\}}{}_{ϵ}$of regular functionals. Then both $\mathcal{F}$ and ${\mathcal{F}}_{ϵ}$ can be discretized by continuous linear finite elements. The convexity of the functionals in $BV\left(\mathrm{\Omega };\left[-1,1\right]\right)$ is useful for the numerical minimization of $\mathcal{F}$. We prove the $\mathrm{\Gamma }-L^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$-convergence of the discrete functionals to $\mathcal{F}$ and present a few numerical examples.

Un problema di Stefan a due fasi con condizione di flusso non lineare sulla parte fissa della frontiera è affrontato mediante la teoria dei semigruppi di contrazione in $L^1$. Si dimostra l'esistenza e l’unicità della soluzione nel senso di Crandall-Liggett e Bénilan.

Un problema di Stefan a due fasi con condizione di flusso non lineare sulla parte fissa della frontiera è affrontato mediante la teoria dei semigruppi di contrazione in $L^1$. Si dimostra l'esistenza e l’unicità della soluzione nel senso di Crandall-Liggett e Bénilan.

We address the numerical approximation of the two-phase Stefan problem and discuss an adaptive finite element method based on rigorous a posteriori error estimation and refinement/coarsening. We also investigate how to restrict coarsening for the resulting method to be stable and convergent. We review implementation issues associated with bisection and conclude with simulations of a persistent corner singularity, for which adaptivity is an essential tool.