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On montre comment écrire de grandes familles, avec de hautes multiplicités, de cas d’égalité $A+B=C$ pour l’inégalité de Stothers-Mason (si $A\left(X\right),B\left(X\right),C\left(X\right)$ sont des polynômes premiers entre eux, le nombre exact de racines du produit $ABC$ dépasse de $1$ le plus grand des degrés des composantes $A,B,C)$. On développera pour cela des techniques polynomiales itératives inspirées des décompositions de Dunford-Schwartz et de fonctions de Belyi. Des exemples d’application avec les conjectures $\left(abc\right)$ ou de M. Hall sont développés.

Soient $A,B,C=A+B$ trois éléments de l’ensemble ${\mathbb{N}}^{*}$ des entiers > $0$ (resp. $ℂ\left[X\right]$) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note $r\left(ABC\right)$ le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans $ℂ\left[X\right]$) du produit $ABC$. La conjecture $\left(abc\right)$ énonce que, pour tout $ϵ\>0$, il existe $C_{ϵ}\>0$ pour lequel l’inégalité : $r\left(ABC\right)\ge C_{ϵ}{S}^{1-ϵ}$ avec $S=$ max$(A,B,C)$) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, $D$ (supposé > $0$) désignant le plus grand des degrés des polynômes $A,B,C:r\left(ABC\right)\ge D+1$. Les cas de triplets de polynômes où l’égalité...

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” : $$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$ Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes...

Pour tout $c\<2$, on calcule un rang $D\left(c\right)$ tel que tout entier algébrique $x$ de degré au moins $D\left(c\right)$ ait deux conjugués $x^{\text{'}},x^{\text{'}\text{'}}$ vérifiant $|x^{\text{'}}-x^{\text{'}\text{'}}|\ge c$. De plus, on donne une nouvelle preuve de l’égalité $D\left(\sqrt{3}\right)=2$.

Tout entier algébrique irrationnel a deux conjugués éloignés d’au moins $\sqrt{3}$.