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Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}\>0,\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r\>0,{𝒦}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|\<r\})\le Cr,$ où ${\mathscr{H}}^1$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega )$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^2$ sur $\Omega$. $X_0$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega )$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose $$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{et}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$ Nous montrons que $\widetilde{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ et que $\widetilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\widetilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de plus qu’il...

Nous étudions la représentation conforme des domaines simplement connexes du plan dont le bord est une courbe presque lipschitzienne au sens de G. David, ainsi que le problème de l’approximation de ces domaines par des domaines de Lavrentiev.

Soit $\Gamma$ une courbe de Jordan fermée rectifiable dans le plan de la variable complexe. On dit que $\Gamma$ véfifie la condition corde-arc si $$\exists C\>1,\forall M,N\in \Gamma ,MN\le CMN$$ où $MN$ est la longueur du plus petit arc de $\Gamma$ joignant $M$ et $N$. Soit $\Phi$ une représentation conforme du disque unité $D$ dans l’intérieur de $\Gamma$. Nous prouvons que $|{\Phi }^{\text{'}}|$ restreint à $\partial D$ appartient à la classe de Muckenhoupt $A^{\infty }\left(\partial D\right)$ et nous en tirons certains corollaires. Dans deux cas particuliers nous montrons que le résultat peut être amélioré.

This paper deals with the Hausdorff dimension of the Julia set of quadratic polynomials. It is divided in two parts. The first aims to compute good numerical approximations of the dimension for hyperbolic points. For such points, Ruelle’s thermodynamical formalism applies, hence computing the dimension amounts to computing the zero point of a pressure function. It is this pressure function that we approximate by a Monte-Carlo process combined with a shift method that considerably decreases the computational...

The point-wise product of a function of bounded mean oscillation with a function of the Hardy space $H^1$ is not locally integrable in general. However, in view of the duality between $H^1$ and $BMO$, we are able to give a meaning to the product as a Schwartz distribution. Moreover, this distribution can be written as the sum of an integrable function and a distribution in some adapted Hardy-Orlicz space. When dealing with holomorphic functions in the unit disc, the converse is also valid: every holomorphic...