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Let $\mathrm{\Omega }$ be a bounded open convex set of class $C^2$. Let $a\left(x,H\left(u\right)\right)$ be a non linear operator satisfying the condition (A) (elliptic) with constants $\alpha$, $\gamma$, $\delta$. We prove that a number $\lambda \ge 0$ is an eigenvalue for the operator $a\left(x,H\left(u\right)\right)$ if and only if the number $\alpha \lambda$ is an eigen-value for the operator $\mathrm{\Delta }u$. If $\lambda \ge 0$ , the two systems $a\left(x,H\left(u\right)\right)=\lambda u$ and $\mathrm{\Delta }u=\alpha \lambda u$ have the same solutions. In particular, also the eventual eigen-values of the operator $a\left(x,H\left(u\right)\right)$ should all be negative. Finally, we obtain a sufficient condition for the existence of solutions $u\in H^2\cap H_0^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ of the system...

In questa Nota si dimostra un risultato enunciato nel § 5 della pubblicazione [4]. Per le soluzioni di un sistema ellittico base, con non-linearità $q\ge 2$, vale un principio di massimo analogo a quello dimostrato in [3] nel caso di non-linearità $q=2$.

In questa Nota si dimostra un risultato enunciato nel § 5 della pubblicazione [4]. Per le soluzioni di un sistema ellittico base, con non-linearità $q\ge 2$, vale un principio di massimo analogo a quello dimostrato in [3] nel caso di non-linearità $q=2$.

Nella presente nota si comunica il seguente risultato: Un operatore ellittico del secondo ordine, con condizione di Dirichlet al bordo, è generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in $t$ con la topologia degli spazi Hölderiani. La dimostrazione sarà esposta nel lavoro [2].

$\mathrm{\Omega }$ is a bounded open set of ${\mathbb{R}}^n$, of class $C^2$ and $T>0$. In the cylinder $Q=\mathrm{\Omega }\times \left(0,T\right)$ we consider non variational basic operator $a\left(H\left(u\right)\right)-\partial u/\partial t$ where $a\left(\xi \right)$ is a vector in ${\mathbb{R}}^N$, $N\ge 1$, which is continuous in $\xi$ and satisfies the condition (A). It is shown that $\mathrm{\forall }f\in L^2\left(Q\right)$ the Cauchy-Dirichlet problem $u\in W_0^{2,1}\left(Q\right)$, $a\left(H\left(u\right)\right)-\partial u/\partial t=f$ in $Q$, has a unique solution. It is further shown that if $u\in W_0^{2,1}\left(Q\right)$ is a solution of the basic system $a\left(H\left(u\right)\right)-\partial u/\partial t=0$ in $Q$, then $H\left(u\right)$ and $\partial u/\partial t$ belong to $H_{loc}^1\left(Q\right)$. From this the Hölder continuity in $Q$ of the vectors $u$ and $Du$ are deduced respectively when $n\le 4$ and $n=2$.