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Il matematico napoletano Renato Caccioppoli (1904-1959) fu uno dei più creativi Analisti del suo tempo. Dopo brevi cenni biografici viene ripercorso il suo itinerario scientifico, mettendo in luce quanto, della sua Opera, è ancor oggi da considerarsi attuale. La sua umanità ed i tratti più significativi del carattere vengono delineati attraverso il ricordo di alcuni suoi allievi.

A proof is given of an abstract characterization of operators of the form $$\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(a_{ij}\frac{\partial }{\partial x_j}\right)+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial }{\partial x_i}+c\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}(a_{ij}=a_{ji})$$ with $a_{ij}\in L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, $b_i\in L^r(\mathrm{\Omega })$ $(r>2)$, $c\in L^q(\mathrm{\Omega })$ $(q>1)$, $\mathrm{\Omega }$ open set of ${\mathrm{R}}^n$, by particular continuous forms on $H_0^1\times (H_0^1\cap L^p)$.

A sharp integrability result for non-negative adjoint solutions to planar non-divergence elliptic equations is proved. A uniform estimate is also given for the Green's function.

Caccioppoli estimates are instrumental in virtually all analytic aspects of the theory of partial differential equations, linear and nonlinear. And there is always something new to add to these estimates. We emphasize the fundamental role of the natural domain of definition of a given differential operator and the associated weak solutions. However, we depart from this usual setting (energy estimates) and move into the realm of the so-called very weak solutions where important new applications lie....

We prove a compactness and representation theorem for the $\mathrm{\Gamma }$-convergence of sequences of convex integral functionals of Variational Calculus, which are not coercive and satisfy non-uniform boundedness assumptions.

Si danno condizioni necessarie affinché un integrale del calcolo delle variazioni risulti sequenzialmente semicontinuo inferiormente nella topologia debole di $H^{1,\alpha }$ e si prova che il massimo funzionale semicontinuo inferiormente minorante è ancora un integrale del calcolo delle variazioni. Ne consegue un teorema di «rilassamento» nel senso di Ekeland e Temam [1].

The famous result of Muckenhoupt on the connection between weights w in A-classes and the boundedness of the maximal operator in L(w) is extended to the case p = ∞ by the introduction of the geometrical maximal operator. Estimates of the norm of the maximal operators are given in terms of the A-constants. The equality of two differently defined A-constants is proved. Thereby an answer is given to a question posed by R. Johnson. For non-increasing functions on the positive real line a parallel theory...

Following Morrey [14] we associate to any measurable symmetric $2\times 2$ matrix valued function $A\left(x\right)$ such that $$\frac{{\left|\xi \right|}^2}{K}\le \left(A\left(x\right)\xi ,\xi \right)\le K{\left|\xi \right|}^2\text{a.e.}x\in \mathrm{\Omega },\mathrm{\forall }\xi \in {\mathbb{R}}^2,$$ $\mathrm{\Omega }\in {\mathbb{R}}^2$ and to any $u\in W^{1,2}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ another symmetric $2\times 2$ matrix valued function $\mathcal{A}=\mathcal{A}\left(A,u\right)$ with $det\mathcal{A}=1$ and satisfying $$\frac{{\left|\xi \right|}^2}{K}\le \left(\mathcal{A}\left(x\right)\xi ,\xi \right)\le K{\left|\xi \right|}^2\text{a.e.}x\in \mathrm{\Omega },\mathrm{\forall }\xi \in {\mathbb{R}}^2,$$ The crucial property of $\mathcal{A}$ is that $\mathcal{A}\nabla u=A\nabla u$, if $\nabla u\ne 0$. We study the properties of $\mathcal{A}$ as a function of $A$ and $u$. In particular, we show that, if $A{}_b\to {}^{G}A$, $u_b\rightharpoonup u$, $\nabla u\ne 0$ and $div{A}_b\nabla u_b=0$ then $\mathcal{A}(A{}_b,u{}_b)\to {}^G\mathcal{A}(A,u)$.

Si considerano alcuni aspetti dell’insegnamento della matematica ritenuti essenziali per consentire agli allievi una migliore comprensione della materia. Dalla necessità di dare definizioni precise “al cento per cento”, all’opportunità di limitare un eccesso di definizioni (per evitare il rischio di nozionismo matematico). Si raccomanda lamassima cura da parte dell’insegnante per un corretto passaggio da considerazioni empiriche, basate su esempi particolari, alle dimostrazioni complete e rigorose....