Existence globale pour l’équation des ondes semi linéaire $H^1$-critique dans des domaines de dimension $3$

Nicolas Burq

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Solutions globales d’énergie infinie pour l’équation des ondes critique

Pierre Germain (2006-2007)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Nous considérons dans cet article l’équation des ondes semilinéaire critique ${(N L W)}_{2^{*} - 1} \{\begin{matrix} □ u + {| u |}^{2^{*} - 2} u = 0 \\ u_{| t = 0} = u_{0} \\ \partial_{t} u_{| t = 0} = u_{1}, \end{matrix}$ posée dans tout l’espace $ℝ^{d}$ , avec $2^{*} = \frac{2 d}{d - 2} \cdot$ Shatah et Struwe [31] ont prouvé que si les données initiales sont d’énergie finie, c’est à dire si $(u_{0}, u_{1}) \in {\dot{H}}^{1} \times L^{2}$ , alors il existe une solution globale. Planchon [22] a montré que c’est aussi le cas pour certaines données initiales d’énergie infinie : il suffit que les données initiales soient de norme petite dans ${\dot{B}}_{2, \infty}^{1} \times {\dot{B}}_{2, \infty}^{0}$ . Nous construisons ici des solutions globales...

Dégénérescence du comportement linéaire pour l’équation des ondes semi-linéaire focalisante critique

Thomas Duyckaerts, Frank Merle (2008-2009)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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C. Kenig et F. Merle ont montré que les solutions de l’équation des ondes focalisante quintique sur l’espace euclidien de dimension 3 ont un comportement linéaire en-dessous d’un certain seuil d’énergie. Ce comportement linéaire est caractérisé par la finitude de la norme $L^{8}$ dans les variables espace-temps. Dans cet exposé, je donnerai une estimation précise de cette norme $L^{8}$ globale pour les solutions dont l’énergie est proche de l’énergie seuil.

Systèmes hyperboliques et viscosité évanescente

Frédéric Rousset (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Le but de l’exposé est de présenter les résultats obtenus par S. Bianchini et A. Bressan sur le problème de Cauchy pour des perturbations visqueuses $\partial_{t} u^{ε} + \partial_{x} f (u^{ε}) = ε \partial_{x x} u^{ε}$ de systèmes strictement hyperboliques $\partial_{t} u + \partial_{x} f (u) = 0$ en une dimension d’espace. Ils ont en particulier montré l’existence globale ( $t \geq 0$ ), l’unicité et la stabilité des solutions et justifié la convergence quand $ε$ tend vers zéro pour des données initiales à petite variation totale. Leur analyse montre aussi que les solutions du système hyperbolique ainsi...

Exemples d’instabilités pour des équations d’ondes non linéaires

Guy Métivier (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Le but de l’exposé est de donner un guide de lecture pour un article de Gilles Lebeau où il est montré que le problème de Cauchy pour l’équation d’onde surcritique $(\partial_{t}^{2} - Δ_{x}) u + u^{p} = 0$ est mal posé au sens de Hadamard dans l’espace d’énergie, pour $p \geq 7$ en dimension 3. La preuve repose sur des constructions d’optique géométrique et des analyses d’instabilité dans des régimes fortement non linéaires. On donnera les étapes de l’analyse en essayant de les situer dans leur contexte plus général : construction...

Les équations d’Euler, des ondes et de Korteweg-de Vries comme limites asymptotiques de l’équation de Gross-Pitaevskii

Fabrice Béthuel, Raphaël Danchin, Philippe Gravejat, Jean-Claude Saut, Didier Smets (2008-2009)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Inégalités de Strichartz et équations d’ondes quasilinéaires

Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin (1997-1998)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Dans ce texte, notre but est de résoudre des équations d’ondes quasilinéaires pour des données initiales moins régulières que ce qu’impose les méthodes d’énergie. Ceci impose de démontrer des estimées de type Strichartz pour des opérateurs d’ondes à coefficients seulement lipschitziens.

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